Question

8．如图所示，一条上端固定的绳长l₁=6.3m，质量m=50kg的特技演员从绳上端先沿绳从静止开始无摩擦下滑一段距离后，突然握紧绳子，与绳子之间产生f=1400N的摩擦阻力，滑到绳子末端时速度刚好为零．求：
（1）特技演员下滑所用的时间t．
（2）在水平面上有一辆长l₂=3m平板车，其上表面与绳末端等高，车右端离绳末端s=4m，平板车能一直以v₀=2m/s的恒定速度向右运动，为了要让该演员滑下后能留在车上，则车启动（汽车启动立即匀速，不计启动时间）后演员应在多长时间范围内开始下滑？（把人看作质点，人与车之间动摩擦系数μ=0.2，g取10m/s²）
（3）若演员在汽车启动后1.8s时开始下滑，为了维持汽车能够匀速运行汽车需要多消耗多少能量？

Answer 1

分析 （1）人先是自由落体运动，然后是匀加速运动，总的位移就是绳的长度，由运动学的公式可以求出下滑所用的时间；
（2）车头刚好到绳末端时人落在车上，这是时间最短的时候，当人恰好不从车上掉下去时，这时的时间最长，根据运动学的公式可以求得人所需要的时间的范围．
（3）根据能量守恒定律求出维持汽车匀速行驶需要多消耗的能量．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得，匀减速运动的加速度大小为：
a=$\frac{f-mg}{m}=\frac{1400-500}{50}m/{s}^{2}=18m/{s}^{2}$，
设匀加速运动的末速度为v，则有：$\frac{{v}^{2}}{2g}+\frac{{v}^{2}}{2a}=6.3m$，
代入数据解得：v=9m/s，
则特技演员下滑的总时间t=$\frac{v}{g}+\frac{v}{a}=\frac{9}{10}+\frac{9}{18}s=1.4s$．
（2）设车运动的时间为t₁时，车头刚好到绳末端时人落车上．
此时间隔时间最短，由s=v₀t₁，
代入数据解得：t₁=2s，
所以人开始下滑的时间为△t₁=t₁-t=0.6s，
设车运动的时间为t₂时，人落车上某点后刚好滑到车尾．此时的间隔时间最长，人和车的相对位移为△s，得：
$△s={v}_{0}\frac{{v}_{0}}{μg}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$=$\frac{4}{2×2}m=1m$
又因为：△s=l₂+s-v₀t₂，
解得：t₂=3s，
所以人开始下滑的时间为：△t₂=t₂-t=1.6s，
则时间的范围为：0.6s≤△t≤1.6s．
（3）汽车多消耗的能量一部分转化为物体的动能，还有一部分转化为内能，
相对滑动的位移为：$△x={v}_{0}\frac{{v}_{0}}{μg}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}=\frac{4}{2×2}m=1m$，
因为演员在汽车启动后1.8s时开始下滑，则v₀（1.8+1.4）+△x=7.4m＞s+l₂，
可知演员在汽车左端滑行，相对滑动的位移为：△x′=s+l₂-v₀（1.8+1.4）m=0.6m，
设经过t′时间滑离小车，有：${v}_{0}t′-\frac{1}{2}μgt{′}^{2}=0.6m$，
解得：t′=1-0.2$\sqrt{10}$s，
则有：v$′=at′=（2-0.4\sqrt{10}）m/s$，
根据能量守恒得：$△E=f△x′+\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，
代入数据解得：$△E=200+40\sqrt{10}$≈73.6J．
答：（1）特技演员下滑所用的时间为1.4s．
（2）车启动（汽车启动立即匀速，不计启动时间）后演员开始下滑的时间范围为0.6s≤△t≤1.6s．
（3）为了维持汽车能够匀速运行汽车需要多消耗73.6J的能量．

点评 本题涉及到多个运动的过程，对每个过程都要仔细的分析物体运动的情况，这道题可以很好的考查学生的分析问题的能力，有一定的难度．