Question

19．如图所示，在光滑绝缘水平面上固定一带电小球，电荷量为+Q，一质量为m、电荷量为-q的带电质点在该水平面上绕小球做半径为r的匀速圆周运动，由于某种原因，带电小球的电荷量突然减小，带电质点做圆周运动的半径增大，后来带电质点做半径为2r的匀速圆周运动．若带电质点具有的能量为带电质点的动能与电势能之和．已知带电质点的电势能E_p=-$\frac{kQq}{R}$（k为静电力常量，Q、q分别为带电小球、质点的电荷量，R为二者之间的距离），则（　　）

• A． 小球剩余的电荷量为$\frac{1}{3}$Q
• B． 小球剩余的电荷量为$\frac{2}{3}$Q
• C． 带电质点做圆周运动的半径从r增大到2r的过程中，电场力做功为-$\frac{kQq}{3r}$
• D． 带电质点做圆周运动的半径从r增大到2r的过程中，电场力做功为-$\frac{2kQq}{3r}$

Answer 1

分析 带电质点受到的库仑力提供向心力，由此写出两种情况下的动力学方程，结合功能关系即可求出质点的速度关系，以及小球的带电量．

解答 解：A、开始时质点受到的库仑力提供向心力，则：$\frac{kQq}{{r}^{2}}=\frac{m{v}_{1}^{2}}{r}$
所以：$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}=\frac{kQq}{2r}$   ①
当小球的电荷量减小后，质点受到的库仑力减小，质点向外做离心运动．质点做离心运动前系统的电势能：
${E}_{1}=-\frac{kQ′q}{r}$   ②
质点运动的半径为2r时，系统的电势能：${E}_{2}=-\frac{kQ′q}{2r}$   ③
质点运动的半径为2r时，质点受到的库仑力提供向心力，则：$\frac{kQ′q}{{（2r）}^{2}}=\frac{m{v}_{2}^{2}}{2r}$
即：$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}=\frac{kQ′q}{4r}$  ④
质点向外运动的过程中动能与电势能的总和不变，即：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+{E}_{1}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+{E}_{2}$⑤
联立①-⑤得：$Q′=\frac{2}{3}Q$．故A错误，B正确；
C、带电质点做圆周运动的半径从r增大到2r的过程中，电场力做功等于动能的增大，所以电场力做功为：$W=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
整理得：W=$-\frac{kQq}{3r}$．故C正确，D错误．
故选：BC

点评 负电荷绕正电荷做匀速圆周运动的情况与人造卫星绕地球做匀速圆周运动的情况相似，解答的关键是理解在运动的过程中电势能与动能的总和保持不变．