Question

3．一个粗细均匀的矩形线框，长、宽分别为2l和l，线框的电阻为r，在纸面内有垂直纸面向里的有界磁场，磁感应强度为B，线框左侧的四分之一位于磁场中，线框可绕位于磁场边界的轴OO′转动，现使线框以角速ω绕OO′匀速转动，则线框产生的电功率为（　　）

• A． $\frac{3{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{2r}$
• B． $\frac{3{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{4r}$
• C． $\frac{5{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{8r}$
• D． $\frac{5{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{4r}$

Answer 1

分析 根据切割产生的感应电动势公式得出切割的最大值，从而得出不同时间段内产生的正弦式交流电电流随时间的变化规律，根据右手定则或楞次定律得出感应电流的方向，作出对应的图线．结合有效值的定义式求出该电流的有效值即可求得产生的电功率．

解答 解：（1）从图示位置开始计时，在0-$\frac{T}{4}$的时间内，线圈产生正弦交流电，表达式为：e=$\frac{1}{2}$Bl²ωsinωt，
电流为：$i=\frac{e}{r}=\frac{B{l}^{2}ωsinωt}{2r}$，
从0变为$\frac{B{l}^{2}ωsinωt}{2r}$，在$\frac{T}{4}-\frac{3T}{4}$时间内，线圈的aMNb部分进入磁场，切割磁感线产生电流，相当于电源，电动势从最大值减小到零，再从零增加到最大值，电流仍是正弦式交流电，最大值为${E}_{m}=\frac{3}{2}B{l}^{2}ω$，
最大电流为：${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{R}=\frac{3B{l}^{2}ω}{2r}$，
在$\frac{3T}{4}$-T时间内，切割磁感线产生电流，电流由最大$\frac{B{l}^{2}ω}{2r}$到零，按正弦函数规律变化． 
在一个周期内可分为两部分，有半个周期内的电流最大值为$\frac{B{l}^{2}ω}{2r}$，另外半个周期内的最大值为$\frac{3B{l}^{2}ω}{2r}$，
根据有效值的定义知：$（\frac{B{l}^{2}ω}{2\sqrt{2}r}）^{2}r•\frac{T}{2}+（\frac{3B{l}^{2}ω}{2\sqrt{2}r}）^{2}r•\frac{T}{2}$=I²rT．
解得电流的有效值为：I=$\frac{\sqrt{10}B{l}^{2}ω}{4r}$
产生的热功率为P=I²r=$\frac{5{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{8r}$
故选：C

点评 线圈有一部分在磁场中运动，另一部分在磁场外，而且转轴不在中间，左右不对称，与那种典型的正弦交流发电机结构有着明显的不同，解答此题，也同样不能直接套用现成的公式，只能从最基本的电磁感应原理出发进行分析求解．