Question

8．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间$\frac{5}{3}$t小球落回原处．（取地球表面重力加速度g=10m/s²，空气阻力不计）
（1）求该星球表面附近的重力加速度g_星；
（2）己知该星球的半径与地球半径之比为：R_星：R_地=1：5，求该星球的密度与地球密度之比ρ_星：ρ_地．

Answer 1

分析 （1）运用运动学公式求出时间t与初速度之间的关系，求出地球表面重力加速度g与星球表面附近的重力加速度g′间的关系．
（2）由质量之比和半径之比，结合球体的体积公式，可得密度之比．

解答 解：（1）在地球表面：${v}_{0}^{\;}=g\frac{t}{2}$
在星球表面：${v}_{0}^{\;}={g}_{星}^{\;}\frac{5}{6}t$
联立得：${g}_{星}^{\;}=\frac{3g}{5}=6m/{s}_{\;}^{2}$
（2）根据重力等于万有引力：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
根据密度$ρ=\frac{M}{V}$
星球体积$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
联立得$ρ=\frac{3g}{4πRG}$
代入数据：$\frac{{ρ}_{星}^{\;}}{{ρ}_{地}^{\;}}=\frac{{g}_{星}^{\;}}{{g}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{\;}}{{R}_{星}^{\;}}=\frac{6}{10}×\frac{5}{1}=\frac{3}{1}$
即：$\frac{{ρ}_{星}^{\;}}{{ρ}_{地}^{\;}}=\frac{3}{1}$
答：（1）求该星球表面附近的重力加速度$6m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）己知该星球的半径与地球半径之比为：R_星：R_地=1：5，求该星球的密度与地球密度之比${ρ}_{星}^{\;}：{ρ}_{地}^{\;}=3：1$．

点评 重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．知道第一宇宙速度的两个表达式．