Question

14．质量相等的甲、乙两颗卫星分别贴近某星球表面和地球表面围绕其做匀速圆周运动，已知该星球和地球的密度相同，半径分别为R和r，则（　　）

• A． 甲、乙两颗卫星的加速度之比等于R：r
• B． 甲、乙两颗卫星所受的向心力之比等于1：1
• C． 甲、乙两颗卫星的线速度之比等于R：r
• D． 甲、乙两颗卫星的周期之比等于R：r

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出加速度、线速度、周期的表达式，结合天体质量和密度的关系得出加速度、线速度、周期的表达式，从而进行比较．

解答 解：A、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=ma$得，a=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，又M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$，则a=$\frac{4}{3}GρπR$，因为星球和地球的半径之比为R：r，则甲乙两颗卫星的加速度之比为R：r，故A正确．
B、卫星所受的向心力等于万有引力的大小，根据F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$知，半径之比为R：r，甲乙质量相等，则向心力之比为r²：R²，故B错误．
C、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，又M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$，则v=$\sqrt{\frac{4ρGπ}{3}}R$，因为星球和地球的半径之比为R：r，则线速度之比为R：r，故C正确．
D、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，又M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$，则T=$\sqrt{\frac{3π}{ρG}}$，可知甲乙两颗卫星的周期之比为1：1，故D错误．
故选：AC．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道线速度、角速度、周期、加速度与什么因素有关，难度不大．