Question

（2008?湖南模拟）如图所示，两个金属圆盘A₁、A₂，可绕通过各自中心并与盘面垂直的固定的光滑金属轴O₁和O₂转动，O₁和O₂相互平行，水平放置．金属圆盘A₁的半径为a₁、等效电阻为R₁，金属圆盘A₂轮的半径为为a₂、等效电阻为R₂．半径为a₀的绝缘圆盘D与A₁同轴且固连在一起．一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P．当P下落时，通过细绳带动D和A₁绕O₁轴转动．转动过程中，A₁、A₂保持接触，无相对滑动；两金属圆盘与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连．已知金属圆盘转动时产生的电动势与同样半径的金属棒转动时产生的电动势相同，除R和两金属圆盘A₁、A₂的电阻外（它们的等效电阻是不变的），其它的电阻都不计．整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行．现将P释放，试求P匀速下落时的速度．

Answer 1

分析：根据角速度与半径关系，可确定感应电动势的大小关系，并由电源的并串联可知，根据闭合电路欧姆定律，与重力功率等于发热功率，即可求解．

解答：P被释放后，细绳的张力带动D和A₁作逆时针的加速转动．通过两个金属圆盘之间无相对运动的接触，A₁带动A₂作顺时针的加速转动．由于两个金属圆盘的辐条切割磁场线，所以在A₁产生由周边沿半径指向轴的电动势，在A₂产生由轴沿半径指向周边的电动势，经电阻R构成闭合电路．A₁、A₂中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力．不难看出，安培力对A₁、A₂的转动起阻碍作用，使A₁、A₂加速转动的势头减缓．A₁、A₂从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，安培力亦逐渐增大，直至D、A₁和A₂停止作加速转动，均作匀角速转动，此时P匀速下落，设其速度为v，则A₁的角速度
ω₁=

v

a0

　　（1）
A₁带动A₂转动，A₂的角速度ω₂与A₁的角速度ω₁之间的关系为ω₁a₁=ω₂a₂
（2）A₁中产生的感应电动势为　E₁=

1

2

Ba₁²ω₁　　　（3）
同理，A₂中产生的电动势数值为　E₂=

1

2

Ba₂ω₂　　　（4）
A₁轮、A₂轮和电阻R构成串联回路，其中的电流为I=

E1+E2

R+R1+R2

    （5）
当P匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即
mgV=I²（R+R₁+R₂）　　　 （6）
　解得   V=4mg（R+R₁+R₂）

a02

B2a12(a1+a2)2

答：P匀速下落时的速度4mg（R+R₁+R₂）

a02

B2a12(a1+a2)2

．

点评：考查杆切割磁感线，掌握右手定则、法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律，同时掌握速度与时间的图象．