Question

15．如图所示，宽度为L的足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨的两端连接阻值R的电阻．导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量m的导体棒MN放在导轨上与导轨接触良好，导体棒的有效电阻也为R，导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．导体棒MN的初始位置与导轨最左端距离为L，导轨的电阻可忽略不计．
（1）若用一平行于导轨的恒定拉力F拉动导体棒沿导轨向右运动，在运动过程中保持导体棒与导轨垂直，求导体棒最终的速度；
（2）若导体棒的初速度为v₀，导体棒向右运动L停止，求此过程导体棒中产生的焦耳热；
（3）若磁场随时间均匀变化，磁感应强度B=B₀+kt（k＞0），开始导体棒静止，从t=0 时刻起，求导体棒经过多长时间开始运动以及运动的方向．

Answer 1

分析 （1）有法拉第电磁感应定律E=BLv和欧姆定律I=$\frac{E}{R}$，结合F_安=BIL及牛顿第二定律求解．
（2）有能量守恒定律求解．
（3）有法拉第电磁感应定律求得感应电动势E=BLv，再由欧姆定律求得电流I=$\frac{E}{R}$，导体棒开始运动棒所受安培力和摩擦力相等，再由右手定则判定电流方向，由左手定则判定运动的方向．

解答 解：（1）导体棒最终匀速运动，设最终速度为v，由法拉第电磁感应定律得：E=BLv，欧姆定律得：$I=\frac{E}{2R}$，由牛顿第二定律：F=μmg+BIL，
解得：$v=\frac{2（F-μmg）R}{{{B^2}{L^2}}}$，
（2）由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v_0}^2=μmgL+Q$
回路中产生的总焦耳热$Q=\frac{1}{2}m{v_0}^2-μmgL$，
根据串并联电路特点，棒上焦耳热和电阻上焦耳热相等，
解得：${Q_棒}=\frac{1}{4}m{v_0}^2-\frac{1}{2}μmgL$
（3）磁感应强度B=B₀+kt，由法拉第电磁感应定律得：$E=\frac{△B}{△t}{L^2}=k{L^2}$，欧姆定律得：$I=\frac{E}{2R}$=$\frac{k{L}^{2}}{2R}$
导体棒恰好运动时，由牛顿第二定律（B₀+kt）IL=μmg，即：$（{B}_{0}+kt）\frac{k{L}^{2}}{2R}L=μmg$
解得：$t=\frac{2μmgR}{{{k^2}{L^3}}}-\frac{B_0}{k}$
由楞次定律得导体棒将向左运动      
答：（1）导体棒最终的速度为$\frac{2（F-μmg）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）此过程导体棒中产生的焦耳热为$\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}μmgL$；
（3）导体棒经过$\frac{2μmgR}{{K}^{2}{L}^{3}}-\frac{{B}_{0}}{K}$时间开始向左运动．

点评 本题考查了求速度、时间、电阻产生的热量，本题难度不大，应用E=BLv、欧姆定律、安培力公式、牛顿第二定律即可正确解题．