Question

4．如图所示，是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施，轨道除CD部分粗糙外，其余均光滑．一挑战者质量为m，沿斜面轨道滑下，无能量损失的滑入第一个圆管形轨道，根据设计要求，在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试挑战者对轨道的压力，并通过计算机显示出来．挑战者到达A处时刚好对管壁无压力，又经过水平轨道CD滑入第二个圆管形轨道，在最高点B处挑战者对管的内侧壁压力为0.5mg，然后从平台上飞入水池内，水面离轨道的距离为h=2.25r．若第一个圆轨道的半径为R，第二个管轨道的半径为r，g取10m/s²，管的内径及人相对圆轨道的半径可以忽略不计．则：

（1）挑战者若能完成上述过程，则他应从离水平轨道多高的地方开始下滑？
（2）挑战者从A到B的运动过程中克服轨道阻力所做的功？
（3）挑战者入水时的速度大小是多少？

Answer 1

分析 （1）抓住挑战者在A点刚好对管壁无压力，可以求出小球经过A点时的速度大小，再从静止开始下滑到经过A点的过程中只有重力对挑战者做功，根据动能定理求得挑战者下滑的高度h；
（2）同理抓住在B点对管壁压力大小可以求得经过B点时的速度大小，然后从A到B的过程中有重力做功和CD段的阻力做功，根据动能定理求得阻力做功；
（3）挑战者滑离平台后做平抛运动，根据运动的合成与分解可以求得入水时的速度大小．

解答 解：（1）挑战者在A点对管壁无压力，则挑战者仅受重力作用，根据牛顿第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
可得挑战者在A点的速度为：v_A=$\sqrt{gR}$
设挑战者从离水平轨道高为H处开始下滑，从静止开始到A点只有重力做功，根据动能定理有：mg（H-2R）=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$-0
可得：H=$\frac{\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+2mgR}{mg}$=$\frac{\frac{1}{2}mgR+2mgR}{mg}$=$\frac{5}{2}$R
（2）因为挑战者在B点对管的内侧壁压力为0.5mg，故满足：mg+N_B=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
可得：v_B=$\sqrt{1.5gr}$
又因为挑战者从A滑至B点过程中只有重力做功和阻力在CD段做功，
根据动能定理有：mg（2R-2r）-W_f克=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$$-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
所以有：W_f克=mg（2R-2r）+$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$=2.25mgr-$\frac{11}{4}$mgR；
（3）挑战者从B到落水的过程中只有重力做功，根据动能定理有：mg•2r+mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$
可得：v=$\sqrt{2×2gr+2×2.25gr+1.5gr}$=$\sqrt{11gr}$
答：（1）挑战者若能完成上述过程，则他应从离水平轨道$\frac{5}{2}$R高的地方开始下滑；
（2）挑战者从A到B的运动过程中克服轨道阻力所做的功为2.25mgr-$\frac{11}{4}$mgR；
（3）挑战者入水时速度的大小为$\sqrt{11gr}$．

点评 本题是多过程问题，应用动能定理时要灵活选择研究的过程，正确的进行受力分析和做功分析是关键．