Question

4．在2012年元旦晚会上，河北杂技团表演了杂技“大球扛杆”．在一个大球上竖立一根直杆，演员在直杆上做了精彩表演．如图所示．假设直杆与大球之间有一压力传感器．一个质量为50kg的演员匀速向上运动时传感器显示压力为600N；演员从直杆最上端由静止开始向下匀加速运动一段时间后又匀减速运动一段时间速度减小到零，静止在距直杆底端$\frac{1}{3}$处．已知在演员向下运动时传感器显示的最大压力为700N，最小压力为500N，直杆长度为12m，g取10m/s²．求：
（1）直杆的质量；
（2）演员下降过程中加速、减速的加速度；
（3）演员向下运动的平均速度．

Answer 1

分析 （1）传感器显示压力等于大球对直杆的支持力．根据演员向上匀速运动时传感器的压力，对演员和直杆整体研究，运用平衡条件求解直杆的质量．
（2）根据牛顿第三定律得到大球对直杆的支持力，再根据演员匀速运动时受力平衡，求得摩擦力，再运用牛顿第二定律分别求解加速、减速运动的加速度．
（3）演员加速和减速两个过程的加速度大小相等，由速度公式求出最大速度，即可求得平均速度

解答 解：（1）设直杆质量为m₀，由牛顿第三定律，传感器显示压力等于大球对直杆的支持力．由平衡条件：m₀g+mg=F₀解得m₀=$\frac{{F}_{0}}{g}$-m=10kg．
（2）设演员向下运动的加速度为a，由牛顿第三定律，传感器显示的最大压力F₁=700N等于大球对直杆的最大支持力，对直杆，由平衡条件得演员到直杆向下的摩擦力f₁=F₁-m₀g=600N
由牛顿第三定律，直杆对演员向上的摩擦力等于600N
对演员，由牛顿第二定律：f₁-mg=ma₁
解得匀减速向下运动的加速度大小为a₁=2m/s²
由牛顿第三定律，传感器显示的最小压力F₂=500N等于大球对直杆的最小支持力
对直杆，由平衡条件得演员对直杆向下的摩擦力f₂=F₂-m₀g=400N
由牛顿第三定律，直杆对演员向上的摩擦力等于400N
对演员，由牛顿第二定律：mg-f₂=ma₂
解得匀加速向下运动的加速度大小为a₂=2m/s²
演员下降过程中加速、减速的加速度大小均为2m/s²，方向相反．
（3）由第（2）问知演员匀加速运动和匀减速运动加速度大小相等，设演员加速运动时间为t，由题述可知
4=$\frac{1}{2}$at²，解得t=2s
演员向下运动的最大速度v_m=at=4m/s
演员向下运动的平均速度v=$\frac{{v}_{m}}{2}$=2m/s．
答：
（1）直杆的质量为10kg；
（2）演员下降过程中加速、减速的加速度大小均为2m/s²，方向相反．
（3）演员向下运动的平均速度为2m/s

点评 本题涉及的过程较多，分析受力情况是关键，运用牛顿第二定律和运动学公式求解，对于平均速度也可以根据位移与时间之比求解