Question

8．科学家预测银河系中所有行星的数量大概在2万亿-3万亿之间．日前在银河系发现一颗类地行星，半径是地球半径的两倍，质量是地球质量的三倍．卫星a、b分别绕地球、类地行星做匀速圆周运动，它们距中心天体表面的高度均等于地球的半径．则卫星a、b的（　　）

• A． 线速度之比为1：$\sqrt{3}$
• B． 角速度之比为3：$2\sqrt{2}$
• C． 周期之比为$2\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• D． 加速度之比为4：3

Answer 1

分析 根据万有引力等于向心力，分别求出两卫星线速度的表达式，再求解线速度之比．根据周期公式求周期之比．由向心加速度公式结合求向心加速度之比．

解答 解：根据万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=ma=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}=m{ω}^{2}r$得：
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，T=$2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，
A、卫星a、b的线速度之比$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{2r}}}{\sqrt{\frac{G•3M}{3r}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故A错误；
B、卫星a、b的角速度之比$\frac{{ω}_{a}}{{ω}_{b}}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{（2r）^{3}}}}{\sqrt{\frac{G•3M}{（3r）^{3}}}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}$，故B正确；
C、卫星a、b的周期之比$\frac{{T}_{a}}{{T}_{b}}=\frac{2π\sqrt{\frac{（2r）^{3}}{GM}}}{\sqrt{\frac{（3r）^{3}}{G•3M}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，故C错误；
D、卫星a、b的向心加速度之比$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}=\frac{\frac{GM}{（2r）^{2}}}{\frac{G•3M}{（3r）^{2}}}$=$\frac{3}{4}$，故D错误．
故选：B

点评 解决本题的关键要建立卫星运动的模型，抓住万有引力等于向心力这一思路，推导出线速度、周期等的表达式，难度适中．