Question

如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距L=0.2m，电阻R=0.4Ω，导轨上停放一质量为m=0.1kg，电阻为r=0.1Ω的金属杆ab，导轨的电阻不计，整个装置处于磁感应强度为B=0.5T的匀强磁场中，磁场的方向竖直向下．现用一外力F沿水平方向拉杆，使之由静止开始运动，若理想电压表示数U随时间t的变化关系如图乙所示．求：
（1）金属杆在第5秒末的瞬时速度；
（2）金属杆所受外力F随时间t变化的关系式；
（3）若在5秒时间内电阻R上所产生的焦耳热为12.5J，求在这段时间内外力F做的功．

Answer 1

分析：（1）由图象显示5s末的电压值为2V，由闭合电路欧姆定律得到感应电动势的大小，由法拉第电磁感应定律求解瞬时速度
（2）外力与安培力的合力，使金属杆产生加速度，写出安培力表达式，结合牛顿第二定律得到外力随时间变化关系
（3）安培力做功变成焦耳热，计算出电路总的焦耳热，便知安培力做的总功，由动能定理可解外力F的功

解答：解：（1）由图象可知t=5s时，u=2v
由I=

U

R

=

2

0.4

A=5A
由闭合电路欧姆定律得：E=I（R+r）=5×0.5=2.5v
由法拉第电磁感应定律得：E=BLV
所以，V=

E

BL

=

2.5

0.5×0.2

m/s=25m/s
（2）由牛顿第二定律得：
F-BIL=ma
由闭合电路欧姆定律得：I=

BLv

r+R

由安培力公式得：F=BIL=

B2L2v

r+R

+ma
F=0.1t+0.5
（3）由动能定理得：W_F-W_A=

1

2

mv²
由功能关系得：W_A=Q₁+Q₂
而，Q=I²Rt

Q1

Q2

=

R

r

=

4

1

所以，Q₁=12.5J
Q₂=3.125J
故，W_A=Q=15.625J
故，W_F=

1

2

mv²+W_A
=15.625+31.25
=46.875J
答：（1）金属杆在第5秒末的瞬时速度25m/s
（2）金属杆所受外力F随时间t变化的关系式F=0.1t+0.5
（3）在这段时间内外力F做的功46.875J

点评：安培力做功过程，是其他能变为电能的过程，；此题中，金属棒电阻不可忽略，应考虑闭合电路欧姆定律，过程较为复杂，有一定难度