Question

【题目】“蹦极”就是跳跃者把一端固定的长弹性绳绑在踝关节等处，从几十米高处跳下的一种极限运动，图甲所示是其中的一个情景。为了研究蹦极过程，做以下简化：将游客视为质点，他的运动沿竖直方向，忽略弹性绳的质量和空气阻力。某次蹦极时，游客从蹦极平台由静止开始下落，弹性绳的弹力大小可以用F=kΔx来计算，式中k为常量，Δx为弹性绳的伸长量。已知该弹性绳的自然长度为20m，取g= 10m/s2。则：

（1）弹性绳刚伸直的瞬间游客的速度是多大？

（2）取弹性绳刚伸直时游客所在位置为坐标原点，取竖直向下为正方向，建立x轴。从弹性绳刚伸直开始，游客向最低点运动的过程中，请推导游客的加速度a与位移x满足的关系，并在图乙中定性画出a随x变化关系的图像。

（3）试论证游客在蹦极过程中的最大加速度大于g。

Answer 1

【答案】（1）

（2）

如图所示：

（3）论证过程请见解析

【解析】

（1）在弹性绳伸直前，游客向下做自由落体运动，则根据速度与位移关系可知弹性绳刚伸直的瞬间游客的速度大小为：，方向向下；

（2）取弹性绳刚伸直时游客所在位置为坐标原点，相对坐标原点位移为

则开始时弹力小于重力，继续向下加速度，则根据牛顿第二定律：，

则，方向向下；

可知随着位移增加，加速度减小，当即时加速度最小为零，此时刻速度最大；

随着位移继续增加，加速度开始反方向增大；

综上所述加速度a与位移x的关系为：

由于取向下为正方向，则关系图像如图所示：

（3）当弹性绳刚伸直时为A点，当重力和弹力相等时为O点，另取一点为B点，如图所示：设，

假设：A点的速度为零，到达B点速度也为零，则从A到B重力势能转化为弹性势能

则：

而且在O点重力与弹力相等，则

联立可以得到：，说明A与B相对O点对称，则根据牛顿第二定律求出此时在B点加速度为：，则，方向竖直向上；

但是：由题可知，游客到达A点时速度不为零，根据能量守恒可知到达B点时速度也不为零，游客到达B点之后还会继续向下运动，弹性绳的伸长量继续增大，弹力继续增大，则当速度为零时其位置在B点下面，则速度为零时其加速度最大，会大于，方向向上。