Question

10．宇宙中某双星由质量不等的星体A和B组成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察到期运动周期为T，A到C点的距离为r1，A和B的距离为r，已知引力常数为G，由此可求出星体B的质量为（　　）

• A． $\frac{4{π}^{2}{r}^{2}{r}_{1}^{\;}}{G{T}^{2}}$
• B． $\frac{4π{r}_{1}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
• C． $\frac{4πr{{\;}^{2}r}_{1}}{G{T}^{2}}$
• D． $\frac{4π{r}^{2}（r-{r}_{1}）}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 双星系统具有相同的周期，根据万有引力提供向心力，得出双星质量之和的表达式，根据半径关系与质量的关系求出星体B的质量．

解答 解：双星具有相同的角速度，对星体A，有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m{r}_{1}{ω}^{2}$=$m{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，对星体B，有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=M{r}_{2}{ω}^{2}$=M${r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得$m=\frac{4{π}^{2}{r}^{2}{r}_{2}}{G{T}^{2}}$，M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{2}{r}_{1}}{G{T}^{2}}$，
则M+m=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，
因为mr₁=Mr₂=M（r-r₁），则$\frac{M}{m}=\frac{{r}_{1}}{r-{r}_{1}}$，
解得星体B的质量M=$（M+m）×\frac{{r}_{1}}{r}=\frac{4{π}^{2}{r}^{2}{r}_{1}}{G{T}^{2}}$．
故选：A．

点评 解决本题的关键知道双星系统的特点，结合万有引力提供向心力进行求解．知道双星做圆周运动的半径之比等于质量之反比．