Question

14．如图所示是某中学学生根据回旋加速器原理设计的一个小型粒子加速器的原理示意图，区域Ⅰ和区域Ⅱ存在匀强磁场B1和B₂．在宽度为d的区域Ⅲ内存在一个匀强电场，电势差大小为U，通过自动调整两区域间的电势高低可使进入该区域的电势差大小恒为U，通过自动调整两区域间的电势高低可使进入该区域的粒子持续加速．在图中A位置静止释放一个质量为m，带电量为q的正电粒子（重力不计），粒子经过两次电场加速后最终垂直于区域Ⅰ边缘AE射出，一切阻力不计，求：
（1）粒子进入区域Ⅰ和区域Ⅱ的速度之比
（2）区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁感应强度之比
（3）已知区域Ⅰ的磁感应强度B₁=B₀，求从粒子释放到从区域Ⅰ边缘飞出的总时间．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子进入区域Ⅰ和区域Ⅱ的速度，再求比值；
（2）画出轨迹，根据几何关系得到半径关系，根据半径公式求磁感应强度之比；
（3）求出粒子在电场和磁场中的运动时间即为粒子释放到从区域Ⅰ边缘飞出的总时间

解答 解：（1）设粒子进入区域Ⅱ的速度为${v}_{Ⅱ}^{\;}$，根据动能定理有：
$qU=\frac{1}{2}m{v}_{Ⅱ}^{2}-0$
解得：${v}_{Ⅱ}^{\;}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
设粒子进入区域Ⅰ的速度为${v}_{Ⅰ}^{\;}$，根据动能定理，有：
$qU=\frac{1}{2}m{v}_{Ⅰ}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{Ⅱ}^{2}$
解得：${v}_{Ⅰ}^{\;}=\sqrt{\frac{4qU}{m}}$
所以粒子进入区域Ⅰ和Ⅱ的速度之比为：$\frac{{v}_{Ⅰ}^{\;}}{{v}_{Ⅱ}^{\;}}=\sqrt{2}$
（2）画出粒子运动的轨迹，如图所示，由图可知，在区域Ⅰ中的轨道半径是区域Ⅱ中轨道半径的2倍，由半径公式有：
$R=\frac{mv}{qB}$
得：$B=\frac{mv}{qR}$
$\frac{{B}_{Ⅰ}^{\;}}{{B}_{Ⅱ}^{\;}}=\frac{{v}_{Ⅰ}^{\;}}{{v}_{Ⅱ}^{\;}}•\frac{{R}_{Ⅱ}^{\;}}{{R}_{Ⅰ}^{\;}}=\sqrt{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
（3）区域Ⅰ的磁感应强度B₁=${B}_{0}^{\;}$，区域Ⅱ的磁感应强度由（2）知，${B}_{Ⅱ}^{\;}=\sqrt{2}{B}_{0}^{\;}$
粒子由静止到区域Ⅱ的时间为：$d=\frac{{v}_{Ⅱ}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}$，
得：${t}_{1}^{\;}=\frac{2d}{{v}_{Ⅱ}^{\;}}=2d\sqrt{\frac{m}{2qU}}=d\sqrt{\frac{2m}{qU}}$=$\sqrt{2}d\sqrt{\frac{m}{qU}}$
在磁场区域Ⅱ中的时间为：${t}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}{T}_{Ⅱ}^{\;}=\frac{πm}{q{B}_{Ⅱ}^{\;}}=\frac{πm}{\sqrt{2}q{B}_{0}^{\;}}$
第二次在电场中加速的时间为：$d=\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{2qU}{m}}+\sqrt{\frac{4qU}{m}}）{t}_{3}^{\;}$，
得：${t}_{3}^{\;}=\frac{2d}{2+\sqrt{2}}\sqrt{\frac{m}{qU}}=（2-\sqrt{2}）d\sqrt{\frac{m}{qU}}$
在磁场区域Ⅰ中运动的时间为：${t}_{4}^{\;}=\frac{1}{4}\frac{2πm}{q{B}_{0}^{\;}}=\frac{πm}{2q{B}_{0}^{\;}}$
从粒子释放到从区域Ⅰ边缘飞出的总时间为：t=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}\frac{πm}{q{B}_{0}^{\;}}+2d\sqrt{\frac{m}{qU}}$
答：（1）粒子进入区域Ⅰ和区域Ⅱ的速度之比$\sqrt{2}$
（2）区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁感应强度之比$\sqrt{2}：2$
（3）已知区域Ⅰ的磁感应强度B₁=B₀，从粒子释放到从区域Ⅰ边缘飞出的总时间$\frac{\sqrt{2}+1}{2}\frac{πm}{q{B}_{0}^{\;}}+2d\sqrt{\frac{m}{qU}}$

点评 解决该题的关键是根据题目的要求，正确画出粒子运动的轨迹，并根据几何关系写出粒子的半径与磁场的半径的关系．记住粒子在磁场中匀速圆周运动的周期公式和半径公式．