Question

12．如图1所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A连接，物块B沿斜面叠放在物块A上但不黏连．光滑斜面轨道与传送轨道良好对接，传送轨道平面与水平方向倾角也是θ，皮带传动装置顺时针匀速转动，物块A，B质量均为m，初始时两物块均静止．现用平行于斜面向上的拉力拉动物块B，使B做加速度为a的匀加速运动，两物块在开始一段时间内的v-t图象如图2所示（t₁时刻A、B的图线相切，t₂时刻对应A图线的最高点），重力加速度为g，（t₁和t₂，v₁和v₂均未知）
（1）求t₂时刻弹簧的形变长度x
（2）求t₁的值
（3）已知θ=37⁰，传送带两轮轴心相距L=5m，物体B与皮带间的动摩擦因数μ=0.25．设AB刚好在C点（斜面与传送带的连接点）分离并进入传送轨道，设物体B滑到传送带的C点时速度为8m/s，物体可视为质点，如果在物体B到达C点同时撤去拉力F，（sin37°=0.6，cos37°=0.8））若传送装置匀速转动的速度v可在v＞4m/s的范围内调节，试推导物体B滑动到顶端D时速度v_D随传送带速度v变化的关系式，g取l0m/s²．

Answer 1

分析 （1）A的速度最大时加速度为零，根据胡克定律求出A达到最大速度时的位移；
（2）由图读出，t₁时刻A、B开始分离，对A根据牛顿第二定律和运动学公式求解t₁；
（3）分传送带速度在4m/s＜v＜8m/s和v≥8m/s两个范围，根据运动学基本公式求解．

解答 解：（1）由图知，A的加速度为零，速度最大，
根据牛顿第二定律和胡克定律得：mgsinθ=kx，得：
  x=$\frac{mgsinθ}{k}$
（2）由图读出，t₁时刻A、B开始分离，对A根据牛顿第二定律：
   kx-mgsinθ=ma
开始时有：2mgsinθ=kx₀
又 x₀-x=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
联立以三式得：t₁=$\sqrt{\frac{2（mgsinθ-ma）}{ak}}$．
（3）当传送带的速度在4m/s＜v＜8m/s的范围内调节时，物体B先以加速度a₁减速向上滑行：x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{1}}$
根据牛顿第二定律得：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁；
当速度减到v后又以a₂减速向上滑行，x₂=$\frac{{v}^{2}-{v}_{D}^{2}}{2{a}_{2}}$
根据牛顿第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma₂；
又有 L=x₁+x₂；
物体B滑动到D点时速度v_D随速度v的变化关系式是 v_D=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$
当传送带的速度在v≥8m/s的范围内调节时，物体B将以加速度a₂减速 滑行到D点：${v}_{D}^{2}$-${v}_{0}^{2}$=-2aL
物体B滑动到D点时速度v_D随速度v的变化关系式是 v_D=2$\sqrt{6}$m/s．
答：
（1）t₂时刻弹簧的形变长度x为 $\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）t₁的值为$\sqrt{\frac{2（mgsinθ-ma）}{ak}}$；
（3）物体B滑动到顶端D时速度v_D随传送带速度v变化的关系式，当4m/s＜v＜8m/s时v_D=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$；当v≥8m/s时，v_D=2$\sqrt{6}$m/s．

点评 从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力为0．从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等．