Question

2．如图所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置U形滑板N，滑板两端为半径R=0.45m的$\frac{1}{4}$圆弧面．A和D分别是圆弧的端点，BC段表面粗糙，其余段表面光滑．小滑块P₁和P₂的质量均为m．滑板的质量M=4m，P₁和P₂与BC面的动摩擦因数分别为μ₁=0.10和μ₂=0.20，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．开始时滑板紧靠槽的左端，P₂静止在粗糙面的B点，P₁以v₀=4.0m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下，与P₂发生弹性碰撞后，P₁处在粗糙面B点上．当P₂滑到C点时，滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连，P₂继续运动，到达D点时速度为零．P₁与P₂视为质点，取g=10m/s²．问：
（1）P₁和P₂碰撞后瞬间P₁、P₂的速度分别为多大？
（2）P₂在BC段向右滑动时，滑板的加速度为多大？
（3）N、P₁和P₂最终静止后，P₁与P₂间的距离为多少？

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒可求得P₁与P₂碰前的速度，由动量守恒定律和机械能守恒定律可求得碰后两物体的速度；
（2）由牛顿第二定律可求得P₂的加速度；
（3）由机械能守恒对CD分析可得出P₂滑到C点速度；对三个滑板N、P₁、及P₂在相碰到P₂滑到C点这一过程中，由动量守恒可求得滑块及P₁的速度；则对整体由功能关系可求得BC长度L；而碰后两物体均要运动，最后静止，由动力学知识可求得两物体的位移，则可求得两物体相距的距离．

解答 解：（1）设P₁滑到最低点速度为v₁，由机械能守恒定律有：有：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入数据解得：v₁=5m/s
P₁、P₂碰撞，满足动量守恒，机械能守恒定律，设碰后速度分别为v′₁、v₂．取向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得：
  mv₁=mv′₁+mv₂
  $\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv′₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
联立并代入数据解得：v′₁=0、v₂=5m/s
（2）P₂向右滑动时，假设P₁保持不动，对P₂有：f=μ₂mg=2m（向左）
设P₁、M的加速度为a₂，对P₁、M有：
   f=（m+M）a₂
代入数据解之得：a₂=0.4m/s²．
此时对P₁有：f₁=ma₂=0.4m＜f_m=1.0m，所以假设成立．
故滑块的加速度为0.4m/s²；
（3）P₂滑到C点速度为v₂′，由mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{′2}$代入数据得：
v₂′=3m/s
P₁、P₂碰撞到P₂滑到C点时，设P₁、M速度为v，由动量守恒定律得：
mv₂=（m+M）v+mv′₂
代入数据解得：v=0.40m/s
对P₁、P₂、M为系统：f₂L=$\frac{1}{2}$mv²₂-$\frac{1}{2}$mv′²₂-$\frac{1}{2}$（m+M）v²
代入数值得：L=3.8m
滑板碰后，P₁向右滑行距离：S₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{v}^{2}}{2{μ}_{1}g}$=$\frac{0．{4}^{2}}{2×1}$=0.08m
P₂向左滑行距离：S₂=$\frac{{v}_{2}^{′2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{{v}_{2}^{′2}}{2{μ}_{2}g}$=$\frac{{3}^{2}}{2×2}$=2.25m
所以P₁、P₂静止后距离：△S=L-S₁-S₂=1.47m
答：（1）P₁和P₂碰撞后瞬间P₁、P₂的速度分别为0和5m/s．
（2）P₂在BC段向右滑动时，滑板的加速度为0.4m/s²．
（3）N、P₁和P₂最终静止后，P₁与P₂间的距离为1.47m．

点评 本题为动量守恒定律及能量关系结合的综合题目，难度较大；要求学生能正确分析过程，并能灵活应用功能关系；合理地选择研究对象及过程．