Question

【题目】如图所示，半径R=1m的光滑半圆轨道AC与高h=8R的粗糙斜面轨道BD放在同一竖直平面内，BD部分水平长度为x=6R．两轨道之间由一条光滑水平轨道相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压（不连接），处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过半圆轨道最高点A，b球恰好能到达斜面轨道最高点B．已知a球质量为m1=2kg，b球质量为m2=1kg，小球与斜面间动摩擦因素为μ= ，重力力加速度为g=10m/s2 ． （sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：

（1）a球经过C点时对轨道的作用力
（2）释放小球前弹簧的弹性势能Ep．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a球恰好能到达A点，重力提供向心力，有：

m1g=m1

a球从C到A的过程，由机械能守恒定律得：

m1vC2﹣ m1vA2=m1g2R

得，小球a经过C点的速度：vC= =5 m/s

在C点，以a球为研究对象，由牛顿第二定律得：

N﹣m1g=m1

联立解得：N=6m1g=120N

由牛顿第三定律知，a球经过C点时对轨道的作用力大小为120N，方向竖直向下．

答：a球经过C点时对轨道的作用力大小为120N，方向竖直向下．

（2）解：由数学知识可知斜面的倾角为53°，长度为10R．

对于b球沿斜面上滑的过程，由动能定理得：

0﹣ m2vb2=﹣m2g8R﹣μm2gcos53°10R

代入数据得：vb=10 m/s

弹簧释放的过程，对于系统，由机械能守恒定律得：

Ep= m1vC2+ m2vb2

代入数据得：Ep=150J

答：释放小球前弹簧的弹性势能Ep是150J．

【解析】（1）根据小球在竖直平面内做匀速圆周运动的临界条件，求出在最高点的速度，整个运动过程中，机械能守恒，再结合匀速圆周运动，合外力等于向心力，列式求解。
（2）先根据几何知识求出斜面的倾角再利用动能定理和机械能守恒定律，联立求解弹簧的弹性势能。