Question

17．如图所示，竖直平面内有一直角坐标系，在y轴的右侧存在无限大的、场强大小为E、水平向左的匀强电场，在y轴的左侧同时存在一个垂直纸面向外、磁感应强度大小为B、水平宽度为a的匀强磁场Ⅰ．有一不计重力、带正电、比荷为$\frac{q}{m}$的粒子由+x轴上某一位置无初速度释放．
（1）若其恰好经过磁场Ⅰ左边界上P点（-a，$\frac{a}{2}$），求粒子射出磁场Ⅰ的速度v₁的大小；
（2）若其恰好经过y轴上的Q点（0，$\frac{a}{2}$），求粒子从释放开始第一次到达Q所用的时间；
（3）若匀强磁场Ⅰ左侧同时存在一个垂直纸面向里、磁感应强度大小也为B的无限大匀强磁场Ⅱ，要使粒子第二次沿+x方向运动时恰经过y轴上的M点（0，-4a），试求其在+x轴上无初速度释放时的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）带正电的粒子垂直进入磁场后做匀速圆周运动，画出粒子运动的轨迹，求出粒子运动的半径，然后根据洛伦兹力提供向心力即可求解带电粒子在磁场中运动的速率；
（2）先求出在电场中运动的时间，再求出在磁场中运动的时间，二者之和即可带电粒子从O点开始运动到第一次回到Q点所用时间．
（3）要使粒子第二次沿+x方向运动时恰经过y轴上的M点（0，-4a），画出运动的轨迹，结合几何关系求出半径，然后由动能定理与牛顿第二定律即可求出．

解答 解：（1）如右图所示，由几何关系可知${r_1}^2={a^2}+{（{r_1}-\frac{a}{2}）^2}$

可知粒子在磁场中的轨迹半径${r_1}=\frac{5}{4}a$
由牛顿第二定律得：$Bq{v_1}=m\frac{v_1^2}{r_1}$
射出磁场的速度${v_1}=\frac{5Bqa}{4m}$
（2）粒子从释放开始到第一次到达Q点，可能轨迹如右图所示，

由几何关系可知：$n•2{r_2}=\frac{a}{2}$，其中n=1，2，3，…
${r_2}=\frac{a}{4n}$
粒子在磁场中${r_2}=\frac{{m{v_2}}}{qB}$，$T=\frac{2πm}{qB}$
粒子在电场中做匀加速直线运动${v_2}=\frac{Eq}{m}{t_1}$，
解得${t_1}=\frac{Ba}{4nE}$
粒子在磁场中做匀速圆周运动，通过一个半圆的时间为$\frac{T}{2}$
从释放开始一直第一次到达Q所用的时间$t=（2n-1）{t_1}+n\frac{T}{2}$
解得$t=n\frac{πm}{Bq}+\frac{（2n-1）Ba}{4nE}$其中n=1，2，3，…
（3）要使粒子第二次沿+x方向运动时恰经过y轴上的M点（0，-4a），轨迹如右图．

如右图所示，在△O₁O₂D中  O₁O₂=2r₃，O₂D=2a，O₁D=r₃+a
由几何关系可知${（2{r_3}）^2}={（2a）^2}+{（{r_3}+a）^2}$  
解得${r_3}=\frac{5}{3}a$
又$Bq{v_3}=m\frac{v_3^2}{r_3}$，粒子在电场中做匀加速直线运动$Eqx=\frac{1}{2}mv_3^2-0$
在+x轴上无初速度释放时的位置坐标$x=\frac{{25q{B^2}{a^2}}}{18mE}$
答：（1）若其恰好经过磁场Ⅰ左边界上P点（-a，$\frac{a}{2}$），粒子射出磁场Ⅰ的速度v₁的大小是$\frac{5Bqa}{4m}$；
（2）若其恰好经过y轴上的Q点（$\frac{a}{2}$，0），粒子从释放开始第一次到达Q所用的时间是$n\frac{πm}{Bq}+\frac{（2n-1）Ba}{4nE}$其中n=1，2，3，…；
（3）其在+x轴上无初速度释放时的位置坐标是$\frac{25q{B}^{2}{a}^{2}}{18mE}$．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，解题关键是画出粒子的运动轨迹，运用几何知识求解轨迹半径．