Question

18．如图所示的“S”型玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平方向不可移动，弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点水平弹射出，以速度v₀从b点进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出（抛出后小球不会再碰轨道），不计其它机械能损失，圆的半径R=0.2m，小球质量m=0.01kg，玩具轨道质量为M=0.27kg，g=10m/s²，求：
（1）若v₀=5m/s，小球从最高点d抛出后的水平射程；
（2）若v₀=5m/s，小球经过轨道的最高点d时，管道对小球作用力的大小和方向；
（3）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，那么当小球经过两半圆的对接处c点时，要使轨道对地面的压力为零，v₀至少为多大？

Answer 1

分析 （1）对a到d全过程运用动能定理求出运动到d点速度，离开d点后做平抛运动，根据高度求出运动的时间，再求出水平位移．
（2）在d点小球受重力和管道对小球的作用力，根据两个力的合力提供做圆周运动的向心力，求出管道对小球作用力的大小和方向．
（3）当小球在c点对轨道向上的作用力等于轨道自身的重力时，轨道对地面的压力为0，根据轨道对小球的作用力和重力的合力提供向心力，求出在c点的速度，再根据动能定理求出v₀的大小．

解答 解：（1）对a到d全过程运用动能定理：-μmgL-4mgR=$\frac{1}{2}$mv_d²-$\frac{1}{2}$mv₀²．
v_d=3m/s．
小球离开d点后做平抛运动，4R=$\frac{1}{2}$gt²，解得：t=$\sqrt{\frac{2（4R）}{g}}$=0.4s
水平射程x=v_dt=1.2m．
（2）在d点有：mg+F=m$\frac{{v}_{d}^{2}}{R}$
F=0.35N．管道对小球的作用力方向向下．
（3）当小球在c点对轨道向上的作用力等于轨道自身的重力时，轨道对地面的压力为0．
有N+mg=m $\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$
N=Mg
根据动能定理得：
-μmgL-2mgR=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得：
v₀=8m/s．
答：（1）若v₀=5m/s，小球从最高点d抛出后的水平射程为1.2m；
（2）若v₀=5m/s，小球经过轨道的最高点d时，管道对小球作用力的大小为0.35N，方向向下；
（3）当小球经过两半圆的对接处c点时，要使轨道对地面的压力为零，v₀至少为8m/s．

点评 该题为动能定理与圆周运动的结合的综合题，解决本题的关键掌握动能定理，以及知道做圆周运动沿半径方向的合力提供向心力．