Question

17．质量为m的小球，沿固定在竖直平面内的光滑圆轨道内侧做圆周运动，经最高点时不脱离轨道的最小速度为v．今若使小球以2v的速度经过最高点，则小球在最高点与最低点时对轨道的压力大小之比为多少？

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求得在最高点的速度，当速度变为2v时，利用牛顿第二定律求得在最高点对轨道的作用力，利用动能定理求得到达底端的速度，同样利用牛顿第二定律求得对轨道的作用力即可

解答 解：以速度v经过最高点时，刚好不脱离，故只有重力提供向心力，故mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\sqrt{gR}$
当以2v速度通过最高点时有：${F}_{{N}_{1}}+mg=\frac{m（2v）^{2}}{R}$，解得：${F}_{{N}_{1}}=3mg$
从最高点到最低点，根据动能定理可得：$mg•2R=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m（2v）^{2}$
在最低点时有：${F}_{{N}_{2}}-mg=\frac{mv{′}^{2}}{R}$，联立解得：${F}_{{N}_{2}}=9mg$
故$\frac{{F}_{{N}_{1}}}{{F}_{{N}_{2}}}=\frac{3mg}{9mg}=\frac{1}{3}$
答：小球在最高点与最低点时对轨道的压力大小之比为1：3

点评 本题主要考查了动能定理和牛顿第二定律，关键是抓住当速度为v时在最高点刚哈不脱离的临界条件