Question

12．如图所示，竖直平面直角坐标系中，一半径为R的绝缘光滑管道位于其中，管道圆心坐标为（0，R），其下端点与x轴相切与坐标原点，其上端点与y轴交于C点，坐标为（0，2R）．在第二象限内，存在水平向右、范围足够大的匀强电场，电场强度大小为E₁=$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$，在x≥R，y≥0范围内，有水平向左，范围足够大的匀强电场，电场强度大小为E₁=$\frac{mg}{q}$．现有一与x轴正方向夹角为45°，足够长的绝缘斜面位于第一象限的电场中，斜面底端坐标为（R，0），x轴上0≤x≤R范围内是水平光滑轨道，左端与管道下端相切，右端与斜面底端平滑连接，有一质量为m，带电量为+q的小球，从静止开始，由斜面上某点A下滑，通过水平光滑轨道（不计转角处能量损失），从管道下端点B进入管道（小球直径略小于管道内径，不计小球的电量损失）（已知重力加速度为g）．试求：
（1）小球至少从多高处滑下，才能到达管道上端点C？要求写出此时小球出发点的坐标；
（2）在此情况下，小球通过管道最高点C受到的压力多大？方向如何？

Answer 1

分析 （1）电场力和重力的合力作用线通过圆心时，合力作用线与管道的交点D处小球的速度最小，先计算B点最小速度，由动能定理确定出发点的坐标．
（2）根据牛顿第二定律求小球通过管道最高点C受到的压力．

解答 解：（1）如图，在第二象限内，小球受到水平向右的电场力和竖直向下的重力，设两者合力与y轴夹角为θ，则：

tanθ=$\frac{q{E}_{1}}{mg}$=$\frac{\sqrt{3}mg}{3mg}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：θ=30°
即带电小球所受重力和电场力的合力方向斜向右下方，与y轴夹角为30⁰，将重力场与电场等效为新的场，等效重力加速度
g'=$\frac{g}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$g．
分析可知，电场力和重力的合力作用线通过圆心时，合力作用线与管道的交点D处小球的速度最小，为v_D=0．
先计算B点最小速度，从B点到D点，由动能定理有：
-mg（R+$\frac{\sqrt{3}}{2}$R）-qE₁×$\frac{1}{2}$R=-$\frac{1}{2}$mv_B²
得v_B²=$\frac{6+4\sqrt{3}}{3}gR$
在第一象限的复合场中，分析可知，小球由静止开始，做匀加速运动，其等效加速度为a=$\sqrt{2}$g
所以，A点纵坐标y_A=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2a}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{6+4\sqrt{3}}{3}gR$×$\frac{1}{2\sqrt{2}g}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3+2\sqrt{3}}{6}$R，
A点横坐标xA=$\frac{3+2\sqrt{3}}{6}R$+R=$\frac{9+2\sqrt{3}}{6}$R，即（$\frac{9+2\sqrt{3}}{6}$R，$\frac{3+2\sqrt{3}}{6}$R）
（2）从B点到C点，由动能定理有：
-mg×2R=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²
得v_c²=$\frac{4\sqrt{3}-6}{3}gR$
小球通过最高点C时，向心力由重力和管道压力提供，设管道对小球的作用力竖直向上，有：
mg-N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
N=mg-m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=$\frac{9-4\sqrt{3}}{3}$mg＞0
所以，管道对小球的压力大小为$\frac{9-4\sqrt{3}}{3}$mg，方向向上．
答：（1）小球出发点的坐标为（$\frac{9+2\sqrt{3}}{6}$R，$\frac{3+2\sqrt{3}}{6}$R）
（2）在此情况下，小球通过管道最高点C受到的压力为$\frac{9-4\sqrt{3}}{3}$mg，方向向上．

点评 本题考查粒子在电场力和重力作用下做匀速圆周运动，可以将两力等效为一个力从而得出等效重力场，注意临界条件的正确确定再灵活运用功能关系与牛顿第二定律进行分析求解．