Question

2．如图1所示，不计电阻的平行金属导轨竖直放置，导轨间距为L，上端接有电阻R，虚线MN下方是垂直于导轨平面的磁场（图中未画出），同一水平高度各处磁感应强度相同，从虚线MN开始建立竖直向下的坐标轴y（坐标原点O在虚线MN上），磁感应强度B与y关系为：B=B₀sin（$\frac{π}{d}y$），如图2所示，图中B₀、d为已知量，现将质量为m、电阻为r的金属杆ab，从距MN高h处垂直导轨由静止释放，杆下落过程中始终与导轨保持良好接触，重力加速度为g，求：
（1）杆自由下落至MN处时速度大小v；
（2）杆从进入磁场开始受变力F作用，竖直向下做匀速直线运动．求：在下降高度2d过程中，变力F所做的功．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理，选取杆自由下落至MN处作为过程，即可求解速度大小；
（2）依据功能关系，结合正弦式交流电的有效值等于最大值×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，并根据Q=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$，即可求解．

解答 解：（1）选取杆自由下落至MN处为过程，根据动能定理，则有：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
解得：v=$\sqrt{2gh}$；
（2）杆从进入磁场开始受变力F作用，竖直向下做匀速直线运动，且磁感应强度B与y关系为：
B=B₀sin（$\frac{π}{d}y$），
那么棒产生正弦式交流电，感应电动势为：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}{B}_{0}Lv$；
依据功能关系，在下降高度2d过程中，则有：W_F=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$-mg•2d；
解得：W_F=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}gh}{R+r}$-2mgd．
答：（1）杆自由下落至MN处时速度大小$\sqrt{2gh}$；
（2）杆在下降高度2d过程中，变力F所做的功$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}gh}{R+r}$-2mgd．

点评 考查动能定理与功能关系的应用，掌握选取过程的重要性，注意力做功的正负值，同时理解正弦式交流电的有效值与最大值的关系．