Question

10．美国航天局2013年4月18日宣布，开普勒天文望远镜已观测到太阳系外迄今“最像地球”的行星．据称，有两颗行星位于一个名为开普勒-62的行星系统的“宜居带”中，这里温度条件适宜，理论上其表面有液态水，甚至可能有少许大气．若A、B两行星的密度相同，A行星表面重力加速度是B行星表面重力加速度的2倍，已知两行星各有一颗卫星在其表面附近围绕行星做匀速圆周运动，由此可判断下列说法正确的是（　　）

• A． A、B两行星的半径之比为4：1
• B． A、B两行星的质量之比为1：8
• C． 两颗卫星分别绕A、B做匀速圆周运动的周期之比为1：1
• D． 两颗卫星分别绕A、B做匀速圆周运动的线速度大小之比为1：2

Answer 1

分析 在不考虑星球自转的情况下，行星表面重力与万有引力相等，万有引力提供圆周运动向心力，据此结合密度公式求解即可．

解答 解：令行星的密度为ρ，半径分别为R_A和R_B
AB、在行星表面重力与万有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，可得重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{G•\frac{4}{3}π{R}^{3}ρ}{{R}^{2}}=ρG\frac{4}{3}πR$，由此可得重力加速度与星球半径成正比，故$\frac{{g}_{A}}{{g}_{B}}=\frac{{R}_{A}}{{R}_{B}}=2$，所以A错误，行星的质量M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，即与半径的三次方成正比，故A的质量是B的质量的8倍，故B错误；
C、根据万有引力提供圆周运动向心力有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得卫星的周期T=$\sqrt{\frac{4{{π}^{2}R}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{{π}^{2}R}^{3}}{G•ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{3π}{ρG}}$，可见绕星表面的周期与半径大小无关，故C正确；
D、根据万有引力提供圆周运动向心力有$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$可得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{G•\frac{4}{3}ρπ{R}^{3}}{R}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}ρGπ}•R$，近地卫星的线速度之比与半径成正比即为2：1，故D错误．
故选：C．

点评 在不考虑星球自转的情况下，星球表面重力与万有引力相等，万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力，这是解决万有引力问题的主要入手点．