Question

如图所示，竖直直角坐标系，第一象限有水平向左的匀强电场E₁，第四象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，且直线Y=—L下方处有竖直向下的匀强电场E₂.质量为m的小球自A(0，L/2)处以v₀的初速度水平抛出，小球到达B(L,0)处是速度方向恰好与x轴垂直．在B处有一内表面粗糙的圆筒，筒内壁与小球间的动摩擦因数为μ，筒直径略大于小球直径，筒长为L，竖直放置．已      

知小球在离开筒以前就已经匀速，且离开筒后做匀速圆周运动，恰在D(0，-2L)处水平进入第三象限．求：

（1）E₁∶E₂是多少？

（2）在圆筒内摩擦力做功是多少？

Answer 1

解：（1）（8分）在第一象限，水平方向小球做匀减速运动，

加速度大小为：a＝                （1分）

由运动学公式，有：L＝at²                  （1分）

竖直方向做自由落体运动，有：＝gt²     （1分）

由①②得，a＝2g               （1分）

由牛顿第二定律可知，qE₁＝2mg    （1分）

小球在第四象限的电磁场中做匀速圆周运动，应有电场力与重力平衡，即：

qE₂＝mg         （2分）

故：E₁∶E₂＝2∶1.     （1分）

（2）（11分）设小球进入圆筒时的速度为v₁，在第一象限，由运动规律有：

竖直方向：＝t      （1分）      水平方向：L＝t     （1分）

解得：v₁＝    （1分）

小球在圆筒中做加速度减小的加速运动，当重力与摩擦力相等时，开始做匀速运动，设此速度为v₂，由平衡条件，有：mg＝μBqv₂      （1分） 解得：v₂＝      （1分）

在第四象限的电磁场中做匀速圆周运动时，

洛伦兹力提供向心力，有：Bqv₂＝m （2分）      解得，v₂＝   （1分）

从小球进入圆筒到离开圆筒，由动能定理，有： mgL+W_f＝mv－mv  （2分）

解之得：W_f＝－[mgL(1－)＋mv]   （2分）