Question

16．如图（1）所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为0.8m，导轨平面与水平面夹角为α，导轨电阻不计．有一个匀强磁场垂直导轨平面斜向上，长为1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨电接触良好，金属棒的质量为0.1kg、与导轨接触端间电阻为1Ω．两金属导轨的上端连接右端电路，电路中R₂为一电阻箱．已知灯泡的电阻R_L=4Ω，定值电阻R₁=2Ω，调节电阻箱使R₂=12Ω，重力加速度g=10m/s²．将电键S打开，金属棒由静止释放，1s后闭合电键，如图（2）所示为金属棒的速度随时间变化的图象．求：
（1）斜面倾角α及磁感应强度B的大小；
（2）若金属棒下滑距离为60m时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始下滑100m的过程中，整个电路产生的电热；
（3）改变电阻箱R₂的值，当R₂为何值时，金属棒匀速下滑时R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率为多少？

Answer 1

分析 （1）电键S打开，ab棒做匀加速直线运动，由速度图象求出加速度，由牛顿第二定律求解斜面的倾角α．开关闭合后，导体棒最终做匀速直线运动，由F_安=BIL，I=$\frac{{BL{v_m}}}{R_总}$得到安培力表达式，由重力的分力mgsinα=F_安，求出磁感应强度B．
（2）金属棒由静止开始下滑100m的过程中，重力势能减小mgSsinα，转化为金属棒的动能和整个电路产生的电热，由能量守恒求解电热．
（3）改变电阻箱R₂的值后，由金属棒ab匀速运动，得到干路中电流表达式，推导出R₂消耗的功率与R₂的关系式，根据数学知识求解R₂消耗的最大功率．

解答 解：（1）电键S打开，从图上得：$a=gsinα=\frac{△v}{△t}=5$m/s²
得 sinα=$\frac{1}{2}$，则得α=30°；
金属棒匀速下滑时速度最大，此时棒所受的安培力为：F_安=BIL，
又 I=$\frac{{BL{v_m}}}{R_总}$，${R_总}={R_{ab}}+{R_1}+\frac{{{R_2}{R_L}}}{{{R_2}+{R_L}}}=（1+2+\frac{4×12}{4+12}）Ω=6Ω$，
从图上得：v_m=18.75m/s，
由平衡条件得：mgsinα=F_安，所以mgsinα=$\frac{{{B^2}{L^2}{v_m}}}{R_总}$
得：$B=\sqrt{\frac{{mgsinα•{R_总}}}{{{V_m}•{L^2}}}}=\sqrt{\frac{{0.1×10×\frac{1}{2}×6}}{{18.75×0．{8^2}}}}$T=0.5T；
（2）由动能定理：$mg•S•sinα-Q=\frac{1}{2}mv_m^2-0$
得 $Q=mg•S•sinα-\frac{1}{2}mv_m^2$=32.42J；
（3）改变电阻箱R₂的值后，金属棒匀速下滑时的速度为v_m′，则有
mgsinα=BI_总L，${R_并}′=\frac{{{R_2}{R_L}}}{{{R_2}+{R_L}}}=（\frac{{4{R_2}}}{{4+{R_2}}}）Ω$，
R₂消耗的功率：P₂=$\frac{U_并^2}{R^2}$=$\frac{{{{（{I_总}{R_并}′）}^2}}}{R_2}$=$\frac{{{{（\frac{mgsinα}{BL}•{R_并}′）}^2}}}{R_2}$=${（\frac{mgsinα}{BL}）^2}•\frac{{{{（\frac{{4{R_2}}}{{4+{R_2}}}）}^2}}}{R_2}$=${（\frac{mgsinα}{BL}）^2}×\frac{{16{R_2}}}{{16+8{R_2}+R_2^2}}={（\frac{mgsinα}{BL}）^2}×\frac{16}{{\frac{16}{R_2}+8+{R_2}}}$
当R₂=4Ω时，R₂消耗的功率最大：
P_2m=${（\frac{mgsinα}{BL}）^2}×\frac{16}{{16{R_2}+8+{R_2}}}=\frac{25}{16}$W=1.5625W．
答：（1）斜面倾角α是30°，磁感应强度B的大小是0.5T；
（2）若金属棒下滑距离为60m时速度恰达到最大，金属棒由静止开始下滑100m的过程中，整个电路产生的电热是32.42J；
（3）改变电阻箱R₂的值，当R₂为4Ω时，金属棒匀速下滑时R₂消耗的功率最大，消耗的最大功率为1.5625W．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，由速度图象求得加速度，推导安培力与速度的表达式是关键步骤，难点是运用数学知识分析R₂消耗的功率何时最大．