Question

15．质量为1.0kg的小球沿光滑的圆轨道在竖直平面内做圆周运动，圆轨道的半径为10m．若小球在轨道的最低点的重力势能是50J，则小球在最低点对轨道的压力最小值是60N，小球具有的机械能最少是300J．

Answer 1

分析 当小球恰好通过圆轨道最高点时，通过最高点的速度最小，通过最低点的速度也最小，小球在最低点对轨道的压力即最小．先由牛顿第二定律求出最高点的最小速度，由机械能守恒定律求最低点的最小速度，再由牛顿第二定律、第三定律结合求出小球在最低点对轨道的压力最小值．结合最小动能，得到最小的机械能．

解答 解：设小球通过最高点和最低点的最小速度分别为v₁和v₂．
在最高点，由重力等于向心力，得 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
小球从最高点运动到最低点的过程，由机械能守恒定律得：
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
在最低点，由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
联立解得，小球在最低点对轨道的压力最小值 N=6mg=60N
且 v₂=$\sqrt{5gR}$=10$\sqrt{5}$m/s
小球具有的机械能最少是 E=E_p+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=50+$\frac{1}{2}×1×（10\sqrt{5}）^{2}$=300J
故答案为：60，300．

点评 本题与绳子模型类似，要明确小球到达圆轨道最高点的临界条件：重力等于向心力，可求得最高点的临界速度．