Question

18．如图所示，矩形边界efgh中有垂直纸面向里的匀强磁场B=0.5T，ef长为l=0.3m，eh长为0.5m，一质量m=8×10^-26kg、电荷量q=8×10^-39C的粒子（重力不计）从矩形边界上某点以某个速度射入．粒子从ef中点O₁孔射出，再经过小孔O₂进入相互正交的匀强电场和匀强磁场区域，电场强度大小E=2×10⁵V/m，磁感应强度大小B₁=0.4T，方向如图．虚线PQ、MN之间存在着水平向右的匀强磁场，磁感应强度大小为B₂=0.25T（图中未画出）．有一块折成等腰直角的硬质塑料板abc（不带电，宽度很窄，厚度不计）放置在PQ、MN之间（截面图如图），a，c两点恰在分别位于PQ、MN上，ab=bc=0.3$\sqrt{2}$m，α=45°．粒子恰能沿图中虚线O₂O₃进入PQ、MN之间的区域．
（1）求粒子射入正交电磁场时的速度大小；
（2）求粒子射入矩形边界时的速度方向和射入点的位置；
（3）假设粒子与硬质塑料板相碰后，速度大小不变，方向变化遵守光的反射定律，粒子在PQ、MN之间的区域中运动的时间和路程分别是多少？

Answer 1

分析 （1）带电粒子射入正交电磁场后做匀速直线运动，结合电场力与洛伦兹力的计算公式可求得粒子射入正交电磁场时速度的大小
（2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，做出带电粒子的运动轨迹示意图，结合几何知识可求得射入矩形边界时速度方向和射入点的位置
（3）结合题意做出粒子在PQ、MN之间运动的轨迹，利用带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径、周期的计算公式结合几何知识可求得时间和路程

解答 解：（1）结合受力分析可知射入正交电磁场的粒子做匀速直线运动，即粒子所受合力为零，由Eq=qvB得：
${v}_{0}=\frac{E}{{B}_{1}}=5×1{0}^{5}m/s$…①
（2）设粒子在矩形efgh磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为R，轨迹如下图所示，则有：

 $q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…②
由几何关系可得：$R+Rcosθ=\frac{1}{2}l$…③
由②③解得：
        R=0.1m
         θ=60⁰
        粒子射入点位置在eh边上距e点的距离x$x=Rsin6{0}^{0}=\frac{\sqrt{3}}{20}m$
射入速度的方向和eh边成60⁰向左下方
（3）粒子从O₃以速度v₀进入PQ、MN之间的区域，先做匀速直线运动，打到ab板上，以大小为v₀的速度垂直于磁场方向运动．粒子将以半径R在垂直于磁场的平面内作匀速圆周运动，转动一周后打到ab板的下部．由于不计板的厚度，所以粒子从第一次打到ab板到第二次打到ab板后运动的时间为粒子在磁场运动一周的时间，即一个周期T．
由$qv{B}_{2}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$和运动学公式$T=\frac{2πR}{{v}_{0}}$
得：$T=\frac{2πm}{q{B}_{2}}$
粒子在磁场中共碰到2块板，做圆周运动所需的时间为
t₁=2T
粒子进入磁场中，在v₀方向的总位移s=2Lsin45°，时间为
${t}_{2}=\frac{s}{{v}_{0}}$
总时间为t=t₁+t₂=6.224×16^-6s
总路程为s=s₁+s₂=2Lsin45°+4πr₂
其中${r}_{2}=\frac{mv}{q{B}_{2}}$
代入计算得s=3.112m                   
答：
（1）求粒子射入正交电磁场时的速度大小为5×10⁵m/s
（2）粒子射入点位置在eh边上距e点的距离为$\frac{\sqrt{3}}{20}$m，射入速度的方向和eh边成60⁰向左下方
（3）粒子在PQ、MN之间的区域中运动的时间和路程分别为6.224×16^-6s、3.112m

点评 本题考查了带电粒子在正交电磁场中的运动和带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动，做出正确的轨迹示意图是前提，利用好几何关系是关键