Question

（2012?海南）图（a）所示的xoy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xoy平面（纸面）垂直，磁感应强度B随时间t变化的周期为T，变化图线如图（b）所示．当B为+B₀时，磁感应强度方向指向纸外．在坐标原点O有一带正电的粒子P，其电荷量与质量恰好等于

2π

TB0

．不计重力．设P在某时刻t₀以某一初速度沿y轴正向O点开始运动，将它经过时间T到达的点记为A．
（1）若t₀=0，则直线OA与x轴的夹角是多少？
（2）若t₀=T/4，则直线OA与x轴的夹角是多少？
（3）为了使直线OA与x轴的夹角为π/4，在0＜t₀＜π/4的范围内，t₀应取何值？

Answer 1

分析：（1）粒子在里面做圆周运动，由此可以得到粒子在一个周期内的运动轨迹，进而可知夹角
（2）粒子P在t0=

T

4

时刻开始运动，在t=

T

4

到t=

T

2

时间内，沿顺时针方向运动

1

4

个圆周，到达D点，此时磁场方向反转；继而，在t=

T

2

到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t=T到t=

5T

4

时间内，沿顺时针方向运动

1

4

个圆周，到达A点，画出图，可得夹角
（3）若在任意时刻t=t₀（0＜t0＜

T

4

）粒子P开始运动，在t=t₀到t=

T

2

时间内，沿顺时针方向做圆周运动到达C点，圆心O′位于x轴上，圆弧OC对应的圆心角为 ∠OO′C=

2π

T

(

T

2

-t0)    此时磁场方向反转；继而，在t=

T

2

到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t=T到t=T+t₀时间内，沿顺时针方向做圆周运动到达A点，设圆O″，圆弧BA对应的圆心角为∠BO″A=

2π

T

t0，画出图象，可得角度，进而得到时间．

解答：解：
（1）设粒子P的质量、电荷量与初速度分别为m、q与v，粒子P在洛仑兹力作用下，在xy平面内做圆周运动，分别用R与T′表示圆周的半径和运动周期，则有：
qvB0=mR

4π2

T′2

v=

2πR

T′

由①②式与已知条件得
T′=T
粒子P在t=0到t=

T

2

时间内，沿顺时针方向运动半个圆周，到达x轴上B点，此时磁场方向反转；继而，在t=

T

2

到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达x轴上A，如图（a）所示．

OA与x轴的夹角θ=0       ④
（2）粒子P在t0=

T

4

时刻开始运动，在t=

T

4

到t=

T

2

时间内，沿顺时针方向运动

1

4

个圆周，到达D点，此时磁场方向反转；继而，在t=

T

2

到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t=T到t=

5T

4

时间内，沿顺时针方向运动

1

4

个圆周，到达A点，如图（b）所示，

由几何关系可知，A点在y轴上，即OA与x轴的夹角 θ=

π

2

  ⑤
（3）若在任意时刻t=t₀（0＜t0＜

T

4

）粒子P开始运动，在t=t₀到t=

T

2

时间内，沿顺时针方向做圆周运动到达C点，圆心O′位于x轴上，圆弧OC对应的圆心角为
∠OO′C=

2π

T

(

T

2

-t0)    ⑥
此时磁场方向反转；继而，在t=

T

2

到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t=T到t=T+t₀时间内，沿顺时针方向做圆周运动到达A点，设圆O″，圆弧BA对应的圆心角为∠BO″A=

2π

T

t0      ⑦
如图（c）所示，

由几何关系可知，C、B均在O′O″连线上，且OA∥O′O″⑧
若要OA与x轴成

π

4

角，则有 ∠OO′C=

3π

4

   ⑨，联立⑥⑨式可得
   t0=

T

8

             ⑩
答：
（1）若t₀=0，则直线OA与x轴的夹角是0
（2）若t₀=

T

4

，则直线OA与x轴的夹角是θ=

π

2

（3）为了使直线OA与x轴的夹角为

π

4

，在0＜t₀＜

π

4

的范围内，t₀应取t0=

T

8

点评：本题是能力要求非常高的对带电粒子在磁场中圆周运动轨迹的分析，带电粒子在磁场中的运动，一般都会牵涉轨迹分析，但很少会有这么多的轨迹分析，轨迹分析是非常重要的技能，可以用这个题来锻炼自己对带电粒子在磁场中运动的轨迹分析能力．