Question

18．如图是用折射率n=$\sqrt{2}$的玻璃做成内径为R、外径为R′=$\sqrt{2}$R的半球形空心球壳．现有一束与中心对称轴OO′平行的光射向此半球的外表面，要使球壳内表面没有光线射出，需在球壳上方垂直OO′放置一圆心通过OO′轴的圆形遮光板，求该遮光板的半径d．

Answer 1

分析 光线射到内球面时，若入射角大于或等于临界角时，会发生全反射，光线将不能射入球壳内部．根据折射定律求出临界角．作出光路图，由几何知识求出光线射到内球面刚好发生全反射时，在外球面的折射角，根据光路图，由几何知识求出遮光板的半径．

解答 解：设光线a′a射入外球面，沿ab方向射向内球面，刚好发生全反射，则有：
  sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$
得：C=45°
在△Oab中，Oa=$\sqrt{2}$R，Ob=R，由正弦定理得：$\frac{sin（180°-C）}{\sqrt{2}R}$=$\frac{sinr}{R}$
即得 r=30°，
由$\frac{sini}{sinr}$=n，得 i=45°
又∠O′Oa=i
当射向外球面的入射光线的入射角小于i=45°时，这些光线都会射出内球面，由图中可知得：
  d=R′sini=$\sqrt{2}$R$•\frac{\sqrt{2}}{2}$=R
所以，至少用一个半径为R的遮光板，圆心过OO′轴并垂直该轴放置，才可以挡住射出球壳的全部光线，这时球壳内部将没有光线射出．
答：该遮光板的半径d为R．

点评 本题是折射定律、临界角和几何知识的综合应用，作出光路图是关键，并能运用数学知识解答．