Question

13．质量是800千克的汽车驶上顶部圆弧半径为50米的拱形桥．
（1）如果汽车在拱形桥顶部对桥的压力是车重的$\frac{4}{5}$，求汽车经过拱形桥顶部时的速度．
（2）汽车安全经过这个拱桥应该限速多少．
（3）如果是同样半径的凹形桥，当汽车的速度是10m/s时对凹形桥底部的压力大小是多少？

Answer 1

分析 （1）在拱形桥最高点，根据重力和桥面的支持力的合力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式，求出汽车的速度．
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，靠重力提供向心力，再根据牛顿第二定律和向心力公式，求出汽车的速度．
（3）当汽车的速度是10m/s时通过凹形桥底部，根据牛顿第二定律求解．

解答 解：（1）汽车在在最高点时，竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力，由向心力公式得：
mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由题意有：N=$\frac{4}{5}$mg
代入数据得：v=10m/s，
（2）汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，汽车在竖直方向只受重力，
由重力提供向心力，由向心力公式得：
mg=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$
代入数据得：v_m=10$\sqrt{5}$m/s，
（3）当汽车的速度是10m/s时通过凹形桥底部，根据牛顿第二定律得
N′-mg=m$\frac{{v′}_{\;}^{2}}{R}$
解得：N′=9600N，
根据牛顿第三定律得汽车对凹形桥底部的压力大小是9600N；
答：（1）如果汽车在拱形桥顶部对桥的压力是车重的$\frac{4}{5}$，汽车经过拱形桥顶部时的速度是10m/s．
（2）汽车安全经过这个拱桥速度应该小于等于10$\sqrt{5}$m/s
（3）如果是同样半径的凹形桥，当汽车的速度是10m/s时对凹形桥底部的压力大小是9600N．

点评 解决本题的关键知道汽车过拱桥，在最高点，靠重力和支持力的合力提供向心力，若支持力为0，由重力提供向心力．