Question

1．若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为98°和北纬α=40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c．试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）．

Answer 1

分析 微波信号传播速度等于光速c，求时间须先求出卫星与嘉峪关的距离．综合运用同步卫星的动力学关系和$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$，解出卫星距地心距离，再结合地球知识，作出相应的几何图形，运用数学知识求出卫星到嘉峪关的距离．

解答 解：设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$…①
$ω=\frac{2π}{T}$…②
因$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$…③
设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦定理有：
$L=\sqrt{{r}_{\;}^{2}+{R}_{\;}^{2}-2rRcosα}$…④
所求时间为：$t=\frac{L}{c}$（5）
由以上各式得：$t=\frac{\sqrt{（\frac{{R}_{\;}^{2}g{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{2}{3}}+{R}_{\;}^{2}-2R（\frac{{R}_{\;}^{2}g{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}cosα}}{c}$
答：该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间为$\frac{\sqrt{（\frac{{R}_{\;}^{2}g{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{2}{3}}+{R}_{\;}^{2}-2R（\frac{{R}_{\;}^{2}g{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}cosα}}{c}$

点评 解决本题关键要掌握同步卫星的条件，分析向心力的来源，运用万有引力定律、牛顿第二定律和几何关系等等结合进行求解