Question

如图所示，在直角坐标xOy平面y轴左侧（含y轴）有一沿y轴负向的匀强电场，一质量为m，电量为q的带正电粒子从x轴上P处以速度v₀沿x轴正向进入电场，从y轴上Q点离开电场时速度方向与y轴负向夹角θ=30°，Q点坐标为（0，-d），在y轴右侧有一与坐标平面垂直的有界匀强磁场区域（图中未画出），磁场磁感应强度大小B=

mv0

qd

，粒子能从坐标原点O沿x轴负向再进入电场．不计粒子重力，求：
（1）电场强度大小E；
（2）如果有界匀强磁场区域为半圆形，求磁场区域的最小面积；
（3）粒子从P点运动到O点的总时间．

Answer 1

分析：（1）由粒子进入磁场速度为2v₀，由几何关系可得角度关系．带电粒子进入匀强电场后，受重力和电场力，由动能定理可得电场强度．
（2）由运动轨迹图，可以找出磁场边长的最小值，可得最小面积．
（3）进入磁场后在洛伦兹力作用下做圆周运动，由左手定则可以判定受力，进而确定其转动方向，作图可得运动轨迹，由运动轨迹的几何关系可得圆心角，进而得到圆周运动的时间，QM段粒子做匀速运动可得此段的时间，相加得总时间．

解答：解：（1）设粒子从Q点离开电场时速度大小为v，由粒子在匀强电场中做类平抛运动得：
   v=2v₀
由动能定理得：qEd=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得：E=

3m v 2 0

2qd

（2）设粒子从N点进入、N点离开半圆形匀强磁场区域粒子在磁场中做匀速圆周运动半径为r，圆心为O₁，如图所示
由qvB=

mv2

r

解得：r=

mv

qB

=2d
若半圆形磁场区域的面积最小，则半圆形磁场区域的圆心为O₂，
可得半径R=1.5r=2d   
半圆形磁场区域的最小面积S=

1

2

πR2=

9

2

πd2=4.5πd²   
（3）设粒子在匀强电场中运动时间为t₁，粒子从Q点离开电场时沿y轴负向速度大小为v_y，
有v_y=

3

v0，t₁=

2d

vy

解得：t₁=

2 3 d

3v0

      
设粒子在磁场中做匀速圆周运动时间为t₂，有t₂=

4πr

3v

=

4πd

3v0

    
粒子在QM、NO间做匀速直线运动时间分别为t₃、t₄，
由几何关系可得QM距离

.

QM

=

4 3 d

3

，得：t₃=

. QM

v

=

2 3 d

3v0

    
NO间距离

.

NO

=

5 3 d

3

     得：t₄=

. NO

v

=

5 3 d

6v0

     
粒子从P点运动到O点的总时间为：
 t=t₁+t₂+t₃+t₄=

2 3 d

3v0

+

4πd

3v0

+

2 3 d

3v0

+

5 3 d

6v0

=

(13 3 +8π)d

6v0

   
答：
（1）电场强度大小E为

3m v 2 0

2qd

；
（2）如果有界匀强磁场区域为半圆形，磁场区域的最小面积为4.5πd²；
（3）粒子从P点运动到O点的总时间为

(13 3 +8π)d

6v0

．

点评：本题考查了带电粒子在匀强电场中的类平抛运动，在磁场中的匀速圆周运动，对数学的几何能力要求较高，关键画出粒子的轨迹图，结合牛顿第二定律以及向心力等知识进行求解．