Question

6．如图所示的木板由倾斜部分和水平部分组成，两部分之间由一段光滑圆弧面相连接（长度可忽略不计），在木板的中间有位于竖直平面内的光滑圆槽轨道，斜面的倾角为θ；现有两个质量分别为m₁、m₂，半径均为r的刚性小球A和B，它们之间用长为L的轻质杆连接，在施加于A球的水平力F作用下而静止，力F与圆槽在同一竖直面内．此时A球球心距它在水平槽运动时球心的高度差为h．现撤去力F使小球开始运动，直到两小球均运动到水平槽内．重力加速度为g，求：
（1）水平外力F的大小；
（2）A球运动到达水平槽所需的时间；
（3）两个小球都运动到水平槽时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）对两球整体进行受力分析可知，在沿斜面方向有共点力平衡求的拉力；
（2）由牛顿第二定律求得加速度，根据运动学公式求的时间；
（3）由机械能求的速度．

解答 解：（1）对两球整体进行受力分析可知，在沿斜面方向有：
Fcosθ=（m₁+m₂）gsinθ   
解得：F=（m₁+m₂）gtanθ
（2）力F撤去后，两球一起下滑时的加速度有：
（m₁+m₂）gsinθ=（m₁+m₂）a    
解得：a=gsinθ
设A球运动到达水平槽所需的时间为t，有：
$\frac{h}{sinθ}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：
$t=\frac{1}{sinθ}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
（3）设两球到达水平槽时的速度大小为v，由机械能守恒定律可得：m₁gh+m₂g[h+（L+2r）sinθ]=$\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）{v^2}$
解得：
$v=\sqrt{\frac{2{m}_{1}gh+2{m}_{2}g（h+Lsinθ+2rsinθ）}{{m}_{1}+{m}_{2}}}$
答：（1）水平外力F的大小为（m₁+m₂）gtanθ
（2）A球运动到达水平槽所需的时间为$\frac{1}{sinθ}\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
（3）两个小球都运动到水平槽时的速度大小为$\sqrt{\frac{2{m}_{1}gh+2{m}_{2}g（h+Lsinθ+2rsinθ）}{{m}_{1}+{m}_{2}}}$

点评 本题解题关键有两个：一要选择研究对象，二是明确解题规律．明确两球下落过程中机械能守