Question

19．如图所示，两根相距为L的金属轨道固定于水平面上，导轨电阻不计；一根质量为m、长为L、单位长度电阻为R的金属棒两端放于导轨上，导轨与金属棒间的动摩擦因数为μ，棒与导轨的接触电阻不计．导轨左端连有阻值为2R的电阻．轨道平面上有n段竖直向下的宽度为a间距为b的匀强磁场（a＞b），磁感应强度为B．金属棒初始位于OO′处，与第一段磁场相距2a．求：
（1）若金属棒有向右的初速度v₀，为使金属棒保持v₀的速度一直向右穿过各磁场，需对金属棒施加一个水平向右的拉力．求金属棒不在磁场中时受到的拉力F₁和在磁场中时受到的拉力F₂的大小；
（2）在（1）的情况下，求金属棒从OO′开始运动到刚离开第n段磁场过程中，拉力所做的功；
（3）若金属棒初速度为零，现对其施以水平向右的恒定拉力F，使棒进入各磁场的速度都相同，求金属棒从OO′开始运动到刚离开第n段磁场整个过程中导轨左端电阻上产生的热量．

Answer 1

分析 （1）金属棒在进入磁场前，不受安培力作用，匀速运动时，拉力与摩擦力平衡；在进入磁场后，金属棒切割磁感线，产生感应电流，匀速运动时，拉力与摩擦力和安培力平衡．根据平衡条件和电磁感应知识，可求出拉力．
（2）利用功的公式，求出拉力做的总功．
（3）进入磁场前，拉力和摩擦力做功，根据动能定理，求出金属棒进入磁场时的速度．进入在磁场时，拉力、摩擦力和安培力做功，根据能量守恒定律求出热量

解答 解：（1）金属棒保持v₀的速度做匀速运动．
金属棒不在磁场中
F₁=f=μmg ①
金属棒在磁场中运动时，电路中的感应电流为I，
F₂=f+BIL ②
由闭合电路欧姆定律
I=$\frac{E}{2R+RL}$=$\frac{BL{v}_{0}}{（2+L）R}$ ③
由②③可得
F₂=μmg+$\frac{BL{v}_{0}}{（2+L）R}$
（2）金属棒在非磁场区拉力F₁所做的功为
W₁=F₁[2a+（n-1）b]=μmg[2a+（n-1）b]④
金属棒在磁场区拉力F₂所做的功为
W₂=F₂na=（μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{（2+L）R}$）na
 故拉力做功为：W=W₁+W₂=μmg[2a+（n-1）b]+nF₂a=μmg[2a+（n-1）b]+（μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{（2+L）R}$）na
（3）金属棒进入各磁场时的速度均相同，等于从OO’运动2a位移第一次进入磁场时的速度v₁，要保证金属棒进入各磁场时的初速度都相同，金属棒在磁场中做减速度运动，离开磁场后再做加速度运动．金属棒每经过一段磁场克服安培力所做的功都相同，设为W_电；棒离开每一段磁场时速度也相同，设为v₂．由动能定理有
F．a-μmg•a-W_电=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ ⑦
（F-μmg）b=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$ ⑧
由⑦⑧可得W_电=（F-μmg）（a+b）
Q_总=nW_电
整个过程中导轨左端电阻上产生的热量为
Q=$\frac{2n{W}_{电}}{2+L}$=$\frac{2}{2+L}$n（F-μmg）（a+b）
答：（1）金属棒不在磁场中时受到的拉力F₁为μmg，在磁场中时受到的拉力F₂的大小为μmg+$\frac{BL{v}_{0}}{（2+L）R}$；
（2）在（1）的情况下，求金属棒从OO′开始运动到刚离开第n段磁场过程中，拉力所做的功为μmg[2a+（n-1）b]+（μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{（2+L）R}$）na；
（3）若金属棒初速度为零，现对其施以水平向右的恒定拉力F，使棒进入各磁场的速度都相同，求金属棒从OO′开始运动到刚离开第n段磁场整个过程中导轨左端电阻上产生的热量为$\frac{2n{W}_{电}}{2+L}$=$\frac{2}{2+L}$n（F-μmg）（a+b）．

点评 本题分析受力是基础，关键从能量转化和守恒角度来求解，解题时要注意抓住使棒进入各磁场的速度都相同，以及通过每段磁场时电路中发热量均相同的条件．