Question

12．高为h的平台边缘上的P点在地面上P′点的正上方，P′与跑道圆心O的距离为L（L＞R），地面上有一个半径为R的圆形跑道，如图所示，跑道上停有一辆小车（小车图中未画，可以当成质点）．现从P点水平抛出小沙袋，使其落入小车中（沙袋所受空气阻力不计）．问：
（1）若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的最大初速度．
（2）若小车沿跑道顺时针做匀速圆周运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在D处落入小车中，小车的速率v应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）小车在A点时水平的位移最小，此时的初速度也是最小的，当小车在B点时，水平的位移最大，此时的初速度是最大的；
（2）要使沙袋能在B处落入小车中，在沙袋落到D点时，小车要刚好到达D位置，小车可以是经过$\frac{3}{4}$圆周到达D点，也可以是经过整数个圆周之后再过$\frac{3}{4}$圆周到达D点，根据它们的时间相同可以求得小车速度的关系．

解答 解：（1）沙袋从P点被抛出后做平抛运动，设它的落地时间为t，
则h=$\frac{1}{2}$gt²，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
若当小车经过C点时沙袋刚好落入，抛出时的初速度最大，有
x_C=v_0maxt=L+R，
得：v_0max=（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）要使沙袋能在D处落入小车中，小车运动的时间应与沙袋下落和时间相同，
t_AB=（n+$\frac{3}{4}$）$\frac{2πR}{v}$（n=0，1，2，3…），…2    t_AB=t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
得：v=$\frac{（4n+3）πR}{2}\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）．
答：（1）若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的最大初速度．
（2）若小车沿跑道顺时针做匀速圆周运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在D处落入小车中，小车的速率v应满足什么条件？

点评 本题是对平抛运动规律的考查，在分析第二问的时候，要考虑到小车运动的周期性，小车并一定是经过$\frac{3}{4}$圆周，也可以是经过了多个圆周之后再经过$\frac{3}{4}$圆周后恰好到达D点，这是同学在解题时经常忽略而出错的地方．