Question

7．如图所示，纸面内有一直角坐标系xOy，a、b为坐标轴上的两点，其坐标分别为（0，2l）、（3l，0），直线MN过b点且可根据需要绕b点在纸面内转动，MN右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m，电荷量为q（q＞0）的带电粒子从a点平行x轴射入第一象限，若MN绕b点转到合适位置，就能保证粒子经过磁场偏转后恰好能够到达b点，设MN与x轴负方向的夹角为θ，不计粒子重力．
（1）若粒子经过b点时速度沿y轴负方向，求角θ的值和粒子的初速度v₁；
（2）若粒子的初速度为v₂=$\frac{4qBl}{3m}$，求粒子从a运动到b的时间；
（3）在保证粒子能够到达b点的前提下，粒子速度取不同的值时，粒子在磁场中的轨迹圆的圆心位置就不同，求所有这些圆心所在曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）作出粒子运动轨迹，求出粒子轨道半径，然后应用牛顿第二定律求出夹角与粒子初速度．
（2）粒子做圆周运动洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律求出粒子轨道半径，然后求出粒子运动时间．
（3）粒子做圆周运动的圆心到y=2L与到b点的距离相等，应用几何知识可以求出圆心曲线方程．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识得，粒子轨道半径：r=2L，直线MN过（L，2L）点，
tanθ=$\frac{2L}{2L}$=1，θ=45°，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，
解得：v₁=$\frac{2qBL}{m}$；
（2）洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{4}{3}$L，
粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识得：cosβ=$\frac{2L-\frac{4}{3}L}{\frac{4}{3}L}$=$\frac{1}{2}$，β=60°，α=180°-β=180°-60°=120°，
粒子在磁场中的运动时间：t=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{120°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$；
（3）设圆心坐标为（x，y），由（2）可知，
圆心到y=2L的距离等于到b点的距离，
即：2L-y=$\sqrt{（3L-x）^{2}+{y}^{2}}$，
解得：y=L-$\frac{（x-3L）^{2}}{4L}$；
答：（1）若粒子经过b点时速度沿y轴负方向，角θ的值为45°，粒子的初速度v₁为$\frac{2qBL}{m}$；
（2）若粒子的初速度为v₂=$\frac{4qBl}{3m}$，粒子从a运动到b的时间为$\frac{2πm}{3qB}$；
（3）所有这些圆心所在曲线的方程是：y=L-$\frac{（x-3L）^{2}}{4L}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹、求出粒子轨道半径是解题的前提与关键，应用牛顿第二定律与粒子做圆周运动的周期公式即可解题，解题时注意几何知识的应用．