Question

16．如图所示，竖直面内两段半径均为R的圆形轨道和一段直轨道相连在一起．其中ab部分为$\frac{1}{4}$圆弧，bc部务为弧长为$\frac{πR}{6}$的一段圆弧，两段圆弧在b点的切线为同一条水平线；直线轨道cd的c点与圆弧相切，d点固定在水平地面上．一表面光滑质量为m的小圆环套在轨道上并从a点由静止释放后，圆环可沿轨道自由下滑．已知b点与地面相距R，重力加速度大小为g，求：
（1）圆环通过ab圆弧的最低点b时所受轨道的支持力大小；
（2）圆环在直轨道cd上运动的时间．

Answer 1

分析 （1）小圆环由a到b过程中机械能守恒，再对最低点由牛顿第二定律和向心力公式可求得支持力大小；
（2）根据可求得夹角大小以及cd间的距离，再对ac过程由机械能守恒定律和平均速度公式，联立即可求得在cd上的时间．

解答 解：（1）小圆环由a到b机械能守恒
则有：mgR=$\frac{1}{2}$mv_b²
在最低端b点时由牛顿第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{b}^{2}}{R}$
解得：F=3mg；
（2）由题意知：θ=$\frac{S}{R}$=$\frac{π}{6}$
x_cd=$\frac{R}{tanθ}$=$\sqrt{3}$R；
小圆环由a到c机械能守恒
mgR（2-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_d²
小圆环由c到d的平均速度
v=$\frac{{v}_{C}+{v}_{d}}{2}$
小圆环由c到d运动的时间
t=$\frac{{x}_{cd}}{v}$=（4-2$\sqrt{4-\sqrt{3}}$）$\frac{\sqrt{Rg}}{8}$
答：（1）圆环通过ab圆弧的最低点b时所受轨道的支持力大小为mg；
（2）圆环在直轨道cd上运动的时间（4-2$\sqrt{4-\sqrt{3}}$）$\frac{\sqrt{Rg}}{8}$

点评 本题考查机械能守恒定律的应用以及运动学规律的应用，要注意正确分析物理过程，做好受力分析，才能准确选择合适的物理规律求解．