Question

10．若河宽仍为100m，
（1）己知水流速度是6m/s，小船在静水中的速度是10m/s，即船速（静水中）大于水速，欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间为多少？欲使航行距离最短，船应该怎样渡河？最短距离为多少？
（2）已知水流速度是10m/s，小船在静水中的速度是6m/s，即船速（静水中）大于水速，欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短间为多少？欲使航行距离最短，船应该怎样渡河？最短距离为多少？

Answer 1

分析 （1）当合速度与河岸垂直时，将运行到正对岸，求出合速度的大小，根据河岸求出渡河的时间．
将小船运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，根据垂直于河岸方向上的速度求出渡河的时间，再根据沿河岸方向上的运动求出沿河岸方向上的位移．
（2）船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短．
因为水流速度大于静水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸，则当合速度垂直静水速度时，位移最短

解答 解：（1）当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间t=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{100}{10}$=10（s）  
因船速（静水中）大于水速，当合速度垂直河岸时，过河的位移最小，最小位移则为河宽，即为100m；  
 设偏向上游的夹角为θ；
则有：sinθ=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$=$\frac{3}{5}$，解得：θ=37°；
 （2）当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间t=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{100}{10}$=10（s）；
因为水流速度大于静水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸．当合速度的方向与静水速的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最短，渡河航程最小．
设此时静水速的方向与河岸的夹角为θ，cosθ=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$=$\frac{3}{5}$．
解得：夹角θ=53°
根据几何关系，则有：$\frac{d}{s}$=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$，
因此最短的航程是s=$\frac{5}{3}$d=$\frac{5}{3}$×100m=$\frac{500}{3}$m．
答：（1）己知水流速度是6m/s，小船在静水中的速度是10m/s，即船速（静水中）大于水速，欲使船渡河时间最短，船垂直河岸渡河，最短时间为10s，欲使航行距离最短，船应偏向上游37°渡河，最短距离为100m；
（2）已知水流速度是10m/s，小船在静水中的速度是6m/s，即船速（静水中）大于水速，欲使船渡河时间最短，船应该垂直河岸渡河，最短间为10s，欲使航行距离最短，船应该偏向上游53°渡河，最短距离为$\frac{500}{3}$m．

点评 解决本题的关键知道分运动与合运动具有等时性，以及各分运动具有独立性，互不干扰．
小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度．