Question

如图所示，有一半径为R质量为m的半球形凹槽P，放在光滑的水平地面上，一面紧靠在光滑的墙壁上，在槽口正上方某处有一质量为m的小球，由静止释放，落下后可沿光滑的球面滑下．试问：
（1）若小球在运动过程中恰好能到达右端最高点，则h应取多少？
（2）小球第二次到达最低点B点的速度是多少？
（3）若小球第一次到达B点到第二次到达B点所经过的时间已知为t，则小球第二次到达B点时，凹槽距墙壁有多远？

Answer 1

分析：（1）小球从下落到运动到B点的过程，凹槽P不动，小球的机械能守恒；小球从B运动到C的过程中，凹槽P向右运动，小球与凹槽P组成的系统水平方向不受外力，水平方向的动量守恒，只有重力做功，系统的机械能守恒．故先根据机械能守恒定律求出小球滑到B点时的速度，再对系统，根据水平方向动量守恒和机械能守恒列式，求解h；
（2）根据系统水平方向动量守恒和机械能守恒列式，求解小球第二次到达最低点B点的速度；
（3）取整体研究，整体的质心向右做匀速直线运动，速度大小等于小球到达最高点时共同速度，即可由S=vt求解小球第二次到达B点时凹槽距墙壁的距离．

解答：解：（1）设小球第一次到B点速度为v₁₀，到右侧最高点时共同速度为V
小球从下落到运动到B点的过程，由机械能守恒定律得  mgh=

1

2

m

v

2 10

小球从B运动到C的过程中，系统机械能守恒，水平方向动量也守恒，则有 
  mgh=

1

2

(m+m)v2+mgR
   mv₁₀=2mV
联立解得：h=2R，V=

v10

2

=

Rg

（2）设小球第二次到B点速度为v₁，凹槽的速度为v₂，则有
  mv₁₀=mv₁+mv₂
 

1

2

m

v

2 10

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

解得，v₁=0，v₂=v₁₀=2

gR

（3）取整体研究，整体的质心向右做匀速直线运动，速度大小为V=

gR

故小球第二次到达B点时凹槽距墙壁的距离S=Vt=t

gR

答：（1）若小球在运动过程中恰好能到达右端最高点，h应取2R；
（2）小球第二次到达最低点B点的速度是0；
（3）若小球第一次到达B点到第二次到达B点所经过的时间已知为t，则小球第二次到达B点时，凹槽距墙壁有t

gR

远．

点评：本题一要正确选取研究对象，二判断系统动量是否守恒关键是明确系统是否受到外力的作用，本题中凹槽P向右运动的过程中系统的总动量守恒，只是水平方向动量守恒．