Question

1．如图，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道，表演者骑着摩托车在竖直固定的圆轨道内做圆周运动，已知人和摩托车的总质量为m，轨道最高点B，轨道最低点A（重力加速度为g）．求：
（1）人和摩托车能过最高点的最小速度大小是多少？
（2）若人以v₁=$\sqrt{2gR}$过B点轨道与摩托车之间的弹力大小为多少？
（3）若人以v₂=$\sqrt{6gR}$过A点轨道与摩托车之间的弹力大小为多少？

Answer 1

分析 （1）分析向心力来源，然后根据轨道只能提供支持力，不能提供拉力得到最小速度；
（2）分析向心力来源，由速度得到向心力，进而得到轨道对摩托车的支持力；
（3）分析向心力来源，由速度得到向心力，进而得到轨道对摩托车的支持力．

解答 解：（1）人和摩托车过最高点时，向心力的方向为竖直向下．在竖直方向上，人和摩托车受重力（G=mg，竖直向下）和轨道对摩托车的支持力（F_N≥0，竖直向下）作用，
重力和支持力作为向心力，所以，有$G+{F}_{N}={F}_{向}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
因为F_N≥0，所以，$G=mg=m\frac{{{v}_{min}}^{2}}{R}$，
所以，${v}_{min}=\sqrt{gR}$；
（2）由（1）可知，$G+{F}_{NB}={F}_{向}=m\frac{{v}^{2}}{R}$=$m\frac{2gR}{R}=2mg$，所以，F_NB=mg；
（3）人和摩托车过A点时，向心力的方向为竖直向上．在竖直方向上，人和摩托车受重力（G=mg，竖直向下）和轨道对摩托车的支持力（F_N≥0，竖直向上）作用，
重力和支持力作为向心力，所以，有${F}_{NA}-G={F}_{向}=m\frac{{v}^{2}}{R}$=$m\frac{6gR}{R}=6mg$，所以，F_NA=7mg．
答：（1）人和摩托车能过最高点的最小速度${v}_{min}=\sqrt{gR}$；
（2）若人以v₁=$\sqrt{2gR}$过B点轨道与摩托车之间的弹力F_NB=mg；
（3）若人以v₂=$\sqrt{6gR}$过A点轨道与摩托车之间的弹力F_NA=7mg．

点评 物体能做圆周运动的临界条件就是轨道对物体的支持力刚好为零．对圆周运动的受力分析时，由于各位置向心力的方向不同，因此，要分别针对每个问题进行分析讨论．