Question

如图所示，倾角为θ的斜面上静止放置三个质量均为m的木箱，相邻两木箱的距离均为l．工人用沿斜面的力推最下面的木箱使之上滑，逐一与其它木箱碰撞．每次碰撞后木箱都粘在一起运动．整个过程中工人的推力不变，最后恰好能推着三个木箱匀速上滑．已知木箱与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．设碰撞时间极短，求
（1）工人的推力；
（2）三个木箱匀速运动的速度；
（3）在第一次碰撞中损失的机械能．

Answer 1

（1）当匀速时，把三个物体看作一个整体受重力、推力F、摩擦力f和支持力．
根据平衡的知识有
F=3mgsinθ+3μmgcosθ．
（2）第一个木箱与第二个木箱碰撞之前的速度为V₁，加速度a1=

F-mgsinθ-μmgcosθ

m

=2g（sinθ+μcosθ）
根据运动学公式或动能定理有V1=2

gL(sinθ+μcosθ)

，
碰撞后的速度为V₂根据动量守恒有mV₁=2mV₂，即碰撞后的速度为V2=

gL(sinθ+μcosθ)

，
然后一起去碰撞第三个木箱，设碰撞前的速度为V₃
从V₂到V₃的加速度为a2=

F-2mgsinθ-2μmgcosθ

2m

=

g(sinθ+μcosθ)

2

，
根据运动学公式有V32-V22=2a2L，得
V3=

2gL(sinθ+μcosθ)

，
跟第三个木箱碰撞根据动量守恒有2mV₃=3mV₄，得
V4=

2

3

2gL(sinθ+μcosθ)

，就是匀速的速度．
（3）设第一次碰撞中的能量损失为△E，根据能量守恒有

1

2

mV12=△E+

1

2

?2mV22，带入数据得
△E=mgL（sinθ+μcosθ）．
答：（1）工人的推力为F=3mgsinθ+3μmgcosθ．
（2）三个木箱匀速运动的速度为

2

3

2gL(sinθ+μcosθ)

．
（3）在第一次碰撞中损失的机械能mgL（sinθ+μcosθ）．