Question

4．如图所示，轨道ABCD位于同一竖直平面内，AB段是光滑的四分之一的圆弧轨道，BC段是高H=3.2m、倾角θ=45°的斜面，CD段是足够长的水平轨道．一小球从AB轨道的某点由静止开始下滑，并从B点水平飞出，不计空气阻力，取g=10m/s²．
（1）若小球从B点飞出后恰好落在C点，求此情形小球在B点的速度大小v_B和释放点到B点的高度h₀；
（2）若释放点到B点的高度h₁=1.8m，求小球第一次落到轨道前瞬间速度方向与水平面夹角α的正切值；
（3）若释放点到B点的高度h₂=0.2m，求小球第一次落到轨道的位置到B点的距离L．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的分位移公式求解小球在B点的速度大小；对圆弧上运动过程根据动能定理列式求解释放点到B点的高度；
（2）若释放点到B点的高度h₁=1.8m，小球落在地面上，根据分速度公式列式求解；
（3）若释放点到B点的高度h₂=0.2m，小球落在斜面上，根据分位移公式列式求解．

解答 解：（1）小球从B到C做平抛运动，故：
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$\frac{H}{tanθ}={v}_{B}t$
在圆弧轨道的运动过程，根据动能定理，有：
$mg{h}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
联立解得：v_B=4m/s，h₀=0.8m
（2）若释放点到B点的高度h₁=1.8m，则落在地面上，竖直分速度为：
${v}_{y}=\sqrt{2gH}$
故tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
联立解得：tanα=$\frac{4}{3}$
（3）若释放点到B点的高度h₂=0.2m，则先落在斜面上；
$mg{h}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-0$
设小球从B点平抛运动时的时间为t′，则：
$Lsinθ=\frac{1}{2}gt{′}^{2}$，Lcosθ=v₂t′
代入数据解得：L=0.8$\sqrt{2}$m=1.1m
答：（1）若小球从B点飞出后恰好落在C点，此情形小球在B点的速度大小为4m/s，释放点到B点的高度为0.8m；
（2）若释放点到B点的高度h₁=1.8m，小球第一次落到轨道前瞬间速度方向与水平面夹角α的正切值为$\frac{4}{3}$；
（3）若释放点到B点的高度h₂=0.2m，小球第一次落到轨道的位置到B点的距离L为1.1m．

点评 本题考查了平抛运动的物理模型，关键是要讨论小球的落点，结合平抛运动的分位移公式、分速度公式分析，注意落在斜面时要用分位移公式．