Question

3．如图所示，两块平行极板AB、CD正对放置，极板CD的正中央有一小孔，两极板间距离AD为d，板长AB为2d，两极板间电势差为U，在ABCD构成的矩形区域内存在匀强电场，电场方向水平向右．在ABCD矩形区域以外有垂直于纸面向里的范围足够大的匀强磁场．极板厚度不计，电场、磁场的交界处为理想边界．将一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子在极板AB的正中央O点，由静止释放．不计带电粒子所受重力．
（1）求带电粒子经过电场加速后，从极板CD正中央小孔射出时的速度大小；
（2）为了使带电粒子能够再次进入匀强电场，且进入电场时的速度方向与电场方向垂直，求磁场的磁感应强度的大小，并画出粒子运动轨迹的示意图．
（3）通过分析说明带电粒子第二次离开电场时的位置，并求出带电粒子从O点开始运动到第二次离开电场区域所经历的总时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中加速，根据动能定理可求得粒子射出时的速度；
（2）粒子粒子运动过程进行分析，明确粒子能回到电场所转过的圆心角，根据洛伦兹力充当向心力可求得磁感应强度；
（3）带电粒子在电场中做类平抛运动，根据运动的合成和分解规律明确运动轨迹和时间；粒子在磁场中做圆周运动，根据周期公式和转过的角度可明确对应的时间，从而求出总时间．

解答 解：（1）设带电粒子经过电场加速后，从极板CD正中央小孔射出时的速度大小为v，由动能定理有：qU=$\frac{1}{2}$mv²…①
解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）带电粒子第一次从电场中射出后，在磁场中做匀速圆周运动，若能够再次进入匀强电场，且进入电场时的速度方向与电场方向垂直，运动方向改变270°，由此可知在磁场中的运动轨迹为四分之三圆，圆心位于D点，半径为d，由A点垂直射入电场．
带电粒子在磁场中运动时，洛仑兹力充当向心力，由牛顿运动定律   Bq=m$\frac{v_{2}}{d}$…②
解得：B=$\frac{mv}{qd}$=$\frac{1}{d}$$\sqrt{\frac{2mU}{d}}$    
（3）带电粒子由A点垂直于电场方向射入电场之后做类平抛运动
若能够射出电场，运动时间为：t₁=$\frac{2d}{v}$=d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$…③
沿电场方向的侧移为：s=$\frac{1}{2}$at₁²…④
由牛顿第二定律可知：
a=$\frac{Eq}{m}$=$\frac{Uq}{md}$…⑤
解得：s=d
因此带电粒子恰能从C点射出．轨迹如图所示．
设带电粒子第一次在电场中加速，运动时间为t₁
带电粒子在磁场中偏转，运动时间为t₂．
粒子转动中洛仑兹力充当向心力．由牛顿第二定律有：Bqv=m$\frac{4π^{2}d}{T^{2}}$…⑥
周期为：T=$\frac{2πm}{Bq}$=πd$\sqrt{\frac{2m}{qU}$
则有：t₂=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3}{4}$πd$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$
带电粒子第二次在电场中偏转，运动时间也为t₁，因此带电粒子运动从O点到C点的总时间为：
t_总=2t₁+t₂=（2+$\frac{3}{4}$π）d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$
答：（1）带电粒子经过电场加速后，从极板CD正中央小孔射出时的速度大小为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）为了使带电粒子能够再次进入匀强电场，且进入电场时的速度方向与电场方向垂直，磁场的磁感应强度的大小$\frac{1}{d}$$\sqrt{\frac{2mU}{d}}$，画出粒子运动轨迹的示意图如图所示．
（3）通过分析说明带电粒子第二次离开电场时的位置，带电粒子从O点开始运动到第二次离开电场区域所经历的总时间为（2+$\frac{3}{4}$π）d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$．

点评 本题中带电粒子先加速后由磁场偏转，根据动能定理求加速获得的速度，画出磁场中粒子的运动轨迹是处理这类问题的基本方法，注意在电场中一般利用运动的合成和分解以及动能定理求解．