Question

10．假设航天员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落点之间的距离为L₁，若抛出时的速度增大到2倍，则抛出点与落点之间的距离为L₂，已知星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量m′．

Answer 1

分析 根据平抛运动的规律，知初速度增大到2倍，则水平位移也增大2倍，结合几何关系求出小球落地的高度，通过平抛运动竖直方向上的运动规律求出重力加速度的大小，结合万有引力等于重力求出月球的质量M．

解答 解：设抛出点的高度为h，第一次平抛运动时：L₁²=h²+（vt）²…①
若抛出的初速度为2倍时，因此有：L₂²=h²+（2vt）^2…②
设该星球表面的重力加速度为g，则$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$…③
联立①②③得：${t}^{2}=\frac{{L}_{2}^{2}-{L}_{1}^{2}}{3{v}^{2}}$
代入①得：g=$\sqrt{\frac{8{L}_{1}^{2}-4{L}_{2}^{2}}{3t}}$
根据星球表面物体重力等于万有引力为：$mg=\frac{Gmm′}{{R}^{2}}$
解得：m′=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{{R}^{2}}{G}•\sqrt{\frac{8{L}_{1}^{2}-4{L}_{2}^{2}}{3t}}$
答：该星球质量为$\frac{{R}^{2}}{G}•\sqrt{\frac{8{L}_{1}^{2}-4{L}_{2}^{2}}{3t}}$．

点评 本题综合考查了平抛运动和万有引力的综合，知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力等于重力这一理论，并能灵活运用．