Question

（22分）如图所示，间距为L、光滑足够长的金属导轨倾斜放置（金属导轨的电阻不计），导轨倾角为α，两根长度均为L的金属棒CD、PQ放在导轨上，已知CD棒的质量为m、电阻为R，PQ棒的质量为4m、电阻为2R。磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，两根劲度系数均为k、相同的弹簧一端固定在导轨的下端，另一端连着金属棒CD。开始时金属棒CD静止，现用一恒力平行于导轨所在平面向上拉金属棒PQ，使金属棒PQ由静止开始运动，当金属棒PQ达到稳定时，弹簧的形变量大小与开始时相同，已知金属棒PQ开始运动到稳定的过程中通过CD棒的电量为q，此过程可以认为CD棒缓慢地移动，求此过程中：

（1）CD棒移动的距离；

（2）恒力所做的功。

Answer 1

解析：

⑴开始时弹簧是压缩，当向上的安培力增大时，弹簧的压缩量减小，安培力等于CD棒平行于斜面的分量时，弹簧恢复到原长，安培力继续增大，弹簧伸长，由题意可知，当弹簧的伸长量等于开始的压缩量时达到稳定状态，此时的弹力与原来的弹力大小相等、方向相反。两弹簧向上的弹力等于CD棒重力平行于斜面的分量。即2F_k=mgsinα，

弹簧的形变量为Δx， CD棒移动的距离

⑵在达到稳定过程中两棒之间距离增大Δs，由两金属棒组成的闭合回路中的磁通量发生变化，产生感应电动势为感应电流为 

回路中通过的电量即CD棒中的通过的电量为 

由此可得两棒距离增大值 

PQ棒沿导轨上滑距离应为CD棒沿斜面上滑距离和两棒距离增大值之和

PQ棒沿导轨上滑距离为 

CD棒静止，受到向上的安培力与重力平行斜面的分量和弹力的合力平衡，

安培力为F_B=mgsinα+2F_k =2mgsinα 

金属棒PQ达到稳定时，它受到的合外力为零，即恒力F=F_B+4mgsinα=6mgsinα

恒力做功为