Question

如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L＝3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r＝1m，APD的半径为R，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为q＝37°。现有一质量为m＝1kg的小球穿在滑轨上，以E_k0的初动能从B点开始沿AB向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ＝，设小球经过轨道连接处均无能量损失。（g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin18.5°=0.32，cos18.5°=0.95，tan18.5°=，cot18.5°=3）求：

（1）要使小球完成一周运动回到B点，初动能E_K0至少多大？

（2）小球第二次到达D点时的动能；

（3）小球在CD段上运动的总路程。

Answer 1

解析：（1）R=Ltan18.5°+r=2m

E_k0＝mgR(1-cosq)+ mgLsinq +mmgLcosq

代入  解得E_k0＝48J

（2）小球第一次回到B点时的动能为：

E_kB=mg2R-mgr(1+cosq)-mmgL=12J，小球沿AB向上运动到最高点，距离B点为s

则有：E_kB=mmgscosq+mgssinq，

     代入  解得s=18/13m=1.38m

小球继续向下运动，当小球第二次到达D点时动能为

 

=12.6J    

（3）小球第二次到D点后还剩12.6J的能量，沿DP弧上升后再返回DC段，到C点只剩下2.6J的能量。因此小球无法继续上升到B点，滑到BQC某处后开始下滑，之后受摩擦力作用，小球最终停在CD上的某点。

     由动能定理：

可得小球在CD上所通过的路程为s＝3.78m

小球通过CD段的总路程为S_总＝2L＋s＝9.78m