Question

15．在光滑水平面上静止有质量均为m的木板AB和滑块CD，木板AB上表面粗糙，滑块CD上表面是光滑的$\frac{1}{4}$圆弧，它们紧靠在一起，如图所示．一个可视为质点的物体P，质量也为m，它从木板AB的右端以初速度v₀滑入，过B点时速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$，然后又滑上滑块CD，最终恰好能滑到滑块CD圆弧的最高点C处．若物体P与木板AB间的动摩擦因数为μ，求：
（1）物块滑到B处时木板AB的速度v₁的大小；
（2）木板AB的长度L；
（3）滑块CD最终速度v₂的大小．

Answer 1

分析 （1）系统动量守恒，由动量守恒定律可以求出速度．
（2）由能量守恒定律可以求出木板的长度．
（3）由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出物体速度

解答 解：（1）物块P在AB上滑动时，三个物体组成的系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律有：
mv₀=m$\frac{{v}_{0}}{2}$+2mv₁，
解得：v₁=$\frac{1}{4}$v₀；
（2）由能量守恒定律有：μmgL=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$v₀）²-$\frac{1}{2}$•2m（$\frac{1}{4}$v₀）²，
解得：L=$\frac{5{v}_{0}^{2}}{16μg}$；
（3）设物体P与滑块CD分离瞬间，物体P的速度为v₁′，在它们相互作用的过程中，以向左为正方向，在水平方向上，由动量守恒定律有：
m$\frac{{v}_{0}}{2}$+mv₁=mv₁′+mv₂，
由能量守恒定律有：$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$v₀）²+$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₁′²+$\frac{1}{2}$mv₂²，
解得：v₁′=$\frac{{v}_{0}}{4}$，v₂=$\frac{{v}_{0}}{2}$，
可见，物体P与滑块CD交换速度后，物体P和木板AB都以$\frac{{v}_{0}}{4}$的速度同方向作匀速运动，无法再追上滑块CD，故滑块CD最终速度v₂应为$\frac{{v}_{0}}{2}$．
答：（1）物块滑到B处时木板AB的速度v₁的大小为$\frac{1}{4}$v₀；
（2）木板AB的长度L为$\frac{5{v}_{0}^{2}}{16μg}$；
（3）滑块CD最终速度v₂的大小为$\frac{{v}_{0}}{2}$．

点评 本题考查了动量守恒定律的应用，分析清楚物体的运动过程、正确选择研究对象与过程、应用动量守恒定律、能量守恒定律、机械能守恒定律即可正确解题．