Question

9．“嫦娥四号”探月卫星计划在2017年发射升空，它将在离月球表面的高度为h的圆轨道上探测月球地貌等方面的信息．已知月球表面的重力加速度为g_月，月球的半径为R_月，引力常量为G，月球可视为球体．则下列选项正确的是（　　）

• A． 月球的平均密度为ρ=$\frac{3{g}_{月}}{4πG{R}_{月}}$
• B． 月球的第一宇宙速度为v_月=$\sqrt{{g}_{月}（{R}_{月}+h）}$
• C． “嫦娥四号”探月卫星运行的线速度v=$\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}_{月}}{{R}_{月}+h}}$
• D． “嫦娥四号”探月卫星运行的加速度为a=$\frac{{g}_{月}{R}_{月}^{2}}{{h}^{2}}$

Answer 1

分析 月球表面重力等于万有引力，绕月卫星的向心力由万有引力提供，据此列式分析即可

解答 解：A、在月球表面重力与万有引力相等，有$m{g}_{月}^{\;}=G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{月}^{2}}$，得${M}_{月}^{\;}=\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{月}^{2}}{G}$，月球的体积$V=\frac{4}{3}π{R}_{月}^{3}$，月球的平均密度$ρ=\frac{{M}_{月}^{\;}}{V}=\frac{\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{月}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}_{月}^{3}}{3}}=\frac{3{g}_{月}^{\;}}{4πG{R}_{月}^{\;}}$，故A正确；
B、根据重力提供向心力$m{g}_{月}^{\;}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{月}^{\;}}$，解得${v}_{1}^{\;}=\sqrt{{g}_{月}^{\;}{R}_{月}^{\;}}$，故B错误；
C、根据万有引力提供向心力有，$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{（R}_{月}^{\;}+h）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{月}^{\;}+h}$，得$v=\sqrt{\frac{G{M}_{月}^{\;}}{{R}_{月}^{\;}+h}}=\sqrt{\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{月}^{2}}{{R}_{月}^{\;}+h}}$，故C错误；
D、根据万有运力提供向心力有$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{（{R}_{月}^{\;}+h）_{\;}^{2}}=ma$，得$a=\frac{G{M}_{月}^{\;}}{（{R}_{月}^{\;}+h）_{\;}^{2}}=\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{月}^{2}}{（{R}_{月}^{\;}+h）_{\;}^{2}}$，故D错误；
故选：A

点评 解决本题的关键是掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，会根据该规律计算线速度、加速度和中心天体的质量