Question

19．已知地球半径R=6.4×10⁶m，地球质量M=6.0×10²⁴kg，地面附近的重力加速度g=9.8m/s²，第一宇宙速度v₁=7.9×10³m/s．若发射一颗地球同步卫星（周期为24小时），使它在赤道上空运转，其高度和线速度大小应为多大？

Answer 1

分析 地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，则由万有引力充当向心力可求得其离地高度；由万有引力充当向心力可得出线速度的大小．

解答 解：（1）地球同步卫星的周期等于地球的自转周期，故有：
$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m（R+H）\frac{4{π}^{3}}{{T}^{2}}$
解得：卫星的离地高度H=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
代入数据，解得：H=2.96×10⁷m；
（2）由$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得：
速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{6.67×1{0}^{-11}×6×1{0}^{24}}{3.6×1{0}^{7}}}m/s$≈3.3×10³m/s；
答：地球同步卫星高度2.96×10⁷m和速度应为3.3×10³m/s．

点评 人造地球卫星所受到的万有引力充当向心力，故由向心力公式可求得线速度、角速度、周期等．