Question

有一半径为的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A相同，半径为的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径的值各应满足什么条件？

Answer 1

放上圆柱B后，圆柱B有向下运动的倾向，对圆柱A和墙面有压力。圆柱A倾向于向左运动，对墙面没有压力。平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。现设系统处于平衡状态，取圆柱A受地面的正压力为，水平摩擦力为；圆柱B受墙面的正压力为，竖直摩擦力为，圆柱A受圆柱B的正压力为，切向摩擦力为；圆柱B受圆柱A的正压力为，切向摩擦力为，如图复解20-5所示。各力以图示方向为正方向。

已知圆柱A与地面的摩擦系数＝0.20，两圆柱间的摩擦系数＝0.30。设圆柱B与墙面的摩擦系数为，过两圆柱中轴的平面与地面的交角为。

设两圆柱的质量均为，为了求出、、以及为保持平衡所需的、、之值，下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程：

圆柱A：                               （1）

                                （2）

                                （3）

圆柱B：                               （4）

                                     （5）

                               （6）

由于，所以得

                          （7）

式中代表，，和的大小。又因，于是式（1）、（2）、（4）和（5）四式成为：

                   （8）

                                        （9）

                                   （10）

                       （11）

以上四式是，，和的联立方程，解这联立方程可得

                                                           （12）

                                            （13）

                                         （14）

                                           （15）

式（12）、（13）、（14）和（15）是平衡时所需要的力，，，没有问题，但，，三个力能不能达到所需要的数值，即式（12）、（14）要受那里的摩擦系数的制约。三个力中只要有一个不能达到所需的值，在那一点就要发生滑动而不能保持平衡。

首先讨论圆柱B与墙面的接触点。接触点不发生滑动要求

                        

由式（12），得

所以

                               （16）

再讨论圆柱A与地面的接触点的情形。按题设此处的摩擦系数为＝0.20，根据摩擦定律，若上面求得的接地点维持平衡所需的水平力满足，则圆柱在地面上不滑动；若，这一点将要发生滑动。

圆柱A在地面上不发生滑动的条件是

                                      （17）

由图复解20-5可知

                                                       （18）

                     （19）

由式（17）、（18）和式（19）以及＝0.20，可以求得

                                                          （20）

即只有当时，圆柱A在地面上才能不滑动。

最后讨论两圆柱的接触点。接触点不发生滑动要求

                                              （21）

由式（18）、（19）以及＝0.30，可解得

                                                  （22）

显然，在平衡时，的上限为。总结式（20）和式（22），得到满足的条件为

                                （23）

评分标准：本题22分。

求得式（7）、（12）、（13）、（14）、（15）各2分，式（16）3分，求得式（23）9分。